Formules: Les limites d'une fonction

I-Limite d'une fonction en l'infini

 * Si $$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = l$$, on dit que la droite d'équation $$y = l$$ est une asymptote horizontale de $$f$$ en $$+\infty$$.


 * Si $$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = l$$, on dit que la droite d'équation $$y = l$$ est une asymptote horizontale de $$f$$ en $$-\infty$$.

II-Limites d'une fonction en un réel

 * On doit souvent distinguer le cas où $$x$$ tend vers $$a$$ en restant supérieur à $$a$$ et le cas où $$x$$ tend vers $$a$$ en restant inférieur à $$a$$.


 * On parle alors de limite à droite$$(x>a)$$ et de limite à gauche $$(x0}{x \to 0}}\frac{1}{x} = +\infty$$


 * $$\lim_{\underset{x<0}{x \to 0}}\frac{1}{x} = -\infty$$


 * Soit $$f$$ une fonction polynôme, ou rationnelle, ou racine carré, et soit $$a$$ un réel qui n'est pas une valeur interdite, alors $$\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$$


 * Si $$\lim_{\underset{x>a}{x \to a}}f(x) = \pm\infty$$ et $$\lim_{\underset{x<a}{x \to a}}f(x) = \pm\infty$$, alors la droite d'équation $$x = a$$ est appelée asymptote verticale à la courbe de $$f$$ en $$a$$.

III-Opérations sur les limites
On pose $$\alpha = \pm \infty$$ ou $$a$$.

 1°) 

$$\lim\limits_{x\to\alpha} f(x) + g(x)$$

 2°)  $$\lim\limits_{x\to\alpha} f(x) \times g(x)$$

 3°)  $$\lim\limits_{x\to\alpha} \frac{f(x)}{g(x)}$$

IV-Théorèmes sur les limites
 1°) Théorème d'encadrement (dit "des gendarmes") 

Soit trois fonctions $$f$$, $$g$$ et $$h$$ telle que pour tout $$x \in \mathbb{R}$$$$g(x) \geq f(x) \geq h(x)$$.


 * Si $$\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = \lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = l$$, alors $$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = l$$.


 * Si $$\lim\limits_{x\to-\infty} g(x) = \lim\limits_{x\to-\infty} h(x) = L$$, alors $$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = L$$.

 2°) Théorème de comparaison 

On pose $$\alpha = \pm\infty$$ ou $$\alpha = a$$

Soit deux fonctions $$f$$ et $$g$$ telle que pour tout $$x\in \mathbb{R}$$, on a $$f(x) \geq g(x)$$. Alors:


 * Si $$\lim\limits_{x\to\alpha} g(x) = +\infty$$ alors $$\lim\limits_{x\to\alpha} f(x) = +\infty$$.


 * Si $$\lim\limits_{x\to\alpha} f(x) = -\infty$$ alors $$\lim\limits_{x\to\alpha} g(x) = -\infty$$.

V-Limite d'une fonction composée
Soit $$f$$ et $$g$$ deux fonctions.

Soit $$(v_{n})$$ une suite.

Soit $$a$$, $$b$$ et $$c$$ des nombres ou $$+\infty$$ ou $$-\infty$$.


 * Si $$\lim\limits_{x\to a}f(x) = b$$ et $$\lim\limits_{x\to b}g(x) = c$$, alors $$\lim\limits_{x\to a}g[f(x)] = c$$


 * Si $$\lim\limits_{x\to +\infty}v_{n} = b$$ et $$\lim\limits_{x\to b}f(x) = c$$, alors $$\lim\limits_{x\to +\infty}f(v_{n}) = b$$


 * Si $$u_{n} = f(n)$$ et si $$\lim\limits_{n\to+\infty}f(x) = a$$, alors $$\lim\limits_{n\to+\infty}v_{n} = a$$.