Formules: Probabilités: loi à densité

Définition

 * Une variable aléatoire $$X$$ est discrète si elle ne peut prendre que des valeurs ponctuelles (comme une face d'un dé qui est jeté, le nombre de personnes dans une salle prise au hasard).


 * Une variable aléatoire $$X$$ est continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (comme l'âge d'une personne prise au hasard, une distance)

Fonction densité
Soit une fonction $$f$$ définie sur un intervalle $$[a;b]$$.

On peut dire que $$f$$ est une fonction dénsité sur $$[a;b]$$ si:


 * $$f$$ est positive sur $$[a;b]$$


 * $$f$$ est continue sur $$[a;b]$$


 * l'aire sous la courbe de $$f$$ sur $$[a;b]$$ est égale à $$1$$

Donc $${\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx} = 1$$

Loi de densité
Soit l'intervalle $$[a;b]$$ et l'intervalle $$[\alpha;\beta] \subset [a;b]$$.

Soit $$f$$ la fonction densité sur $$[a;b]$$

Si $$X$$ suit la loi de densité de $$f$$, alors


 * $$P(X\in [\alpha;\beta]) = {\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx}$$


 * $$P(X = \alpha) = {\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha} f(x)dx} = 0$$


 * $$P(\alpha \leq X \leq \beta) = P(\alpha < X < \beta)$$


 * $$P(\alpha \leq X) = P(\alpha < X)$$


 * $$P(X \leq \beta) = P(X < \beta)$$

Expérance d'une variable aléatoire
L'espérance, c'est la moyenne des valeurs prises par la valeur aléatoire.

Si $$f$$ est une fonction densité sur $$[a;b]$$ et si $$X$$ suit cette loi de densité, alors

$$E(X) = {\displaystyle \int_{a}^{b} xf(x)dx}$$

Loi uniforme
Une loi uniforme de densité sur $$[a;b]$$ et si une variable aléatoire suit la loi de densité $$f$$, alors:


 * $$f(x) = \frac{1}{b-a}$$


 * $$P(X \in [\alpha;\beta]) = \frac{\beta- \alpha}{b-a}$$


 * $$E(X) = \frac{a+b}{2}$$

Loi exponentielle
Si $$f$$ est une loi de densité exponentielle de paramètre $$\lambda $$(elle l'est donc sur $$[0;+\infty[$$), et si $$T$$ est une variable aléatoire qui suit $$f$$, alors


 * $$f(x) =\lambda e^{-\lambda x}$$


 * $$f(0) = \lambda$$


 * $$F(x) = -e^{-\lambda x}$$ où $$F$$ est une primitive de $$f$$.


 * $$P(T\in[\alpha;\beta]) = e^{-\lambda \alpha} - e^{-\lambda \beta}$$

Pour tout $$t>0$$, alors


 * $$P(T < t) = 1 - e^{-\lambda t}$$ (à démontrer le jour du BAC)


 * $$P(T > t) = e^{-\lambda t}$$ (à démontrer le jour du BAC)


 * $$P_{T > t}(X > t + h) = P(T > h)$$


 * $$E(X) = \lim \limits_{a\to+\infty}{\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)dx} = \frac{1}{\lambda}$$