IUT

1°)
On peut voir $$f$$ comme une composée de fonctions simples.

La fonction $$x \mapsto x$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$.

La fonction $$x \mapsto -sin(x)$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$.

La fonction $$x \mapsto \frac{-1}{8}$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$.

Comme $$f$$ est une addition de ces trois fonctions, elle est aussi définie sur $$\mathbb{R}$$

2°)
Posons $$f(x) = g(x) + h(x) + j(x)$$ et ce $$\forall x \in \mathbb{R}$$

avec $$g: x \mapsto x$$, $$h: x \mapsto -sin(x)$$ et $$j: x \mapsto \frac{-1}{8}$$.

On peut donc affirmer que $$f'(x) = g'(x) + h'(x) + j'(x)$$ et ce $$\forall x \in \mathbb{R}$$.

Comme $$g: x \mapsto x$$, on peut dire que $$g': x \mapsto 1$$.

Comme $$h: x \mapsto -sin(x)$$, on peut dire que $$h': x \mapsto -cos(x)$$.

Comme $$j: x \mapsto \frac{-1}{8}$$, on peut dire que $$j': x \mapsto 0$$

Ainsi, on peut conclure que $$f(x) = 1 -cos(x) + 0 = 1 - cos(x)$$ et ce $$\forall x \in \mathbb{R}$$.

3°)
Pour conclure sur la monotonie (croissance, décroissance et constance potentielles) de $$f$$, on doit étudier sa dérivée.

On va donc résoudre $$f'(x) \geq 0$$

Donc $$1 - cos(x) \geq 0$$

Donc $$ -cos(x) \geq -1$$

Donc $$cos(x) \leq 1$$

D'après les études connues du cosinus sur $$\left[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$, les valeurs du cosinus sont, en fonction de $$x$$:


 * $$cos(x) < 1$$, valant $$\forall x \in \left[\frac{-\pi}{2};0\right[ \cup \left]0;\frac{\pi}{2}\right]$$.


 * $$cos(x) = 1$$ pour $$x= 0$$.

Ainsi


 * $$1 - cos(x) > 0$$, valant $$\forall x \in \left[\frac{-\pi}{2};0\right[ \cup \left]0;\frac{\pi}{2}\right]$$.


 * $$1 - cos(x) = 0$$, valant pour $$x= 0$$.

Et donc


 * $$f'(x) > 0$$, valant $$\forall x \in \left[\frac{-\pi}{2};0\right[ \cup \left]0;\frac{\pi}{2}\right]$$.


 * $$f'(x) = 0$$, valant $$x= 0$$.

Il en résulte donc:


 * $$f$$ croissante sur tout l'intervalle $$\left[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ (et non pas strictement croissante à cause de la valeur nulle de sa dérivée en $$x= 0$$. (on peut tout de même dire que $$f$$ est strictement croissante $$\forall x \in \left[\frac{-\pi}{2};0\right[ \cup \left]0;\frac{\pi}{2}\right]$$.)

Le reste du sujet est bourré d'erreur, il ne convient donc pas de le corriger.