Formules 1A EI: Formules d'Euler et égalités trigonométriques

I-Formules d'Euler

 * On sait que $$e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)$$ et que $$e^{-i\theta} = cos(-\theta)+isin(-\theta) = cos(\theta) - isin(\theta)$$


 * Donc $$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2cos(\theta)$$ donc $$cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$


 * Et donc $$e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2isin(\theta)$$ donc $$sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

II-Démontration des formules d'addition

 * $$cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) = \frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2} \times \frac{e^{ib}+e^{-ib}}{2} - \frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i} \times \frac{e^{ib}-e^{-ib}}{2i}$$

$$= \frac{e^{ia}e^{ib} + e^{ia}e^{-ib}+e^{-ia}e^{ib}+e^{-ia}e^{-ib}}{4} - \frac{e^{ia}e^{ib}-e^{ia}e^{-ib}-e^{-ia}e^{ib}+e^{-ia}e^{-ib}}{-4}$$

$$= \frac{e^{i(a+b)} + e^{i(a-b)} + e^{i(-a+b)}+e^{i(-a-b)}}{4}-\frac{-\left[e^{i(a+b)}-e^{i(a-b)}-e^{i(-a+b)}+e^{i(-a-b)}\right]}{4}$$

$$= \frac{e^{i(a+b)} + e^{i(a-b)} + e^{i(-a+b)}+e^{i(-a-b)}}{4}+\frac{e^{i(a+b)}-e^{i(a-b)}-e^{i(-a+b)}+e^{i(-a-b)}}{4}$$

$$= \frac{2e^{i(a+b)}+2e^{i(-a-b)}}{4} = \frac{2\left(e^{i(a+b)}+e^{i(-a-b)}\right)}{4} = \frac{e^{i(a+b)}+e^{i(-a-b)}}{2}$$

$$ = \frac{e^{i(a+b)}+e^{-i(a+b)}}{2} = cos(a+b)$$