Correction des exercices

1°)
a) L'intervalle est $$[-2;8]$$.

Donc si le nombre que l'on a choisit est négatif, il appartient nécessairement à l'intervalle $$[-2;0]$$.

On calcule donc $$P(X\in [-2;0] ) = \frac{0 - (-2)}{8 - (-2)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2 \neq 0,5$$

Donc l'affirmation a) est fausse.

b)

On se trouve avec une épreuve de Bernoulli de paramètre $$(10;0,2)$$. Sachant qu'on veut avoir un nombre négatif pour la moitié des tirages, c'est donc $$5$$ fois que ça doit arriver.

On a donc $$P(X = 5) = \left( \begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array} \right) \times 0,2^{5} \times 0,8^{5} $$

$$= 252 \times 3,2 \times 10^{-4} \times 0,32768 \approx 0,0264$$

Donc l'affirmation b) est vraie.

c)

Si on prend la moyenne $$\frac{-2 + 8}{2} = 3$$ et qu'on la multiplie par $$1000$$, on obtient bien $$3000$$.

Donc l'affirmation c) est vrai.

2°)
a)


 * $$P(F_{1}) = 0,25$$


 * $$P_{F_{1}}(D) = 0,03$$


 * $$P(F_{2}) = 0,75$$


 * $$P_{F_{2}}(D) = 0,02$$

Donc

(1) $$P(F_{1} \cap D) = P(F_{1}) \times P_{F_{1}}(D) = 0,25 \times 0,03 = 0,0075$$

(2) $$P(F_{2} \cap D) = P(F_{2}) \times P_{F_{2}}(D) = 0,75 \times 0,02 = 0,015$$

(3) $$P(D) = P(F_{1} \cap D) + P(F_{2} \cap D) = 0,0075 + 0,015 = 0,0225$$

(4) $$P_{D}(F_{1}) = \frac{P(F_{1} \cap D)}{P(D)} = \frac{0,0075}{0,0225} = \frac{1}{3}$$

Donc l'affirmation a) est vraie.

b)

On a $$P(X>5) = 0,325$$

Donc $$e^{-5\lambda} = 0,325 \Longleftrightarrow -5\lambda = ln(0,325) \Longleftrightarrow \lambda = \frac{-ln(0,325)}{5}$$

$$E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{-5}{ln(0,325)} \approx 4,5$$

1°)
$$X \geq t$$ et $$X < t$$ sont des événements contraires.

Donc $$P(X < t) = 1 - P(X \geq t)$$.

Or $$P(X < t) = P(X \geq t)$$.

Donc $$P(X \geq t) = 1 - P(X \geq t)$$

Donc $$P(X \geq t) = \frac{1}{2}$$

Donc $$e^{-\lambda t} = \frac{1}{2}$$

Donc $$-\lambda t = ln\left(\frac{1}{2}\right)$$

Donc $$-\lambda t = -ln(2)$$

Donc $$t = \frac{ln(2)}{\lambda}$$

2°)
$$P_{X > 2}(X > 3) = P(X > (3-2)) = P(X > 1)$$

3°)
$$P(X < 1) = 0,1$$

Donc $$1 - e^{-\lambda} = 0,1$$

Donc $$e^{-\lambda} = 0,9$$

Donc $$-\lambda = ln(0,9)$$

Donc $$\lambda = -ln(0,9) = ln\left(\frac{1}{0,9}\right) = ln\left(\frac{10}{9}\right)$$

4°)
$$P(X > 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - {\displaystyle \int_{0}^{5} \lambda e^{-\lambda x}dx} = 1 - \left[-e^{-\lambda x}\right]_{0}^{5}$$

$$= 1 - \left(-e^{-ln\left(\frac{10}{9}\right)\times 5} + e^{0}\right) = e^{-ln\left(\frac{10}{9}\right)\times 5}$$

$$= \left(e^{-ln\left(\frac{10}{9}\right)}\right)^{5} = \left(e^{ln\left(\frac{9}{10}\right)}\right)^{5} = \left(\frac{9}{10}\right)^{5}$$

5°)
On a donc une épreuve de Bernoulli de paramètres $$\left(10;\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\right)$$.

Donc $$P(Y = 10) = \left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array} \right) \times \left(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\right)^{10} \times \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \approx 0,0052$$