Formules: Lois normales

1°)Densité de probabilité de Laplace-Gauss

 * On appelle fonction de Laplace-Gauss la fonction $$\varphi(x) = \frac{e^{\frac{-x^{2}}{2}}}{\sqrt{2\pi}}$$


 * Sa représentation graphique s'appelle courbe de Gauss ou courbe en cloche.


 * L'aire totale sous la courbe en cloche est égale à $$1$$,

c'est-à-dire $$\lim\limits_{a\to-\infty}\int_{a}^{0} = \frac{1}{2}$$ et $$\lim\limits_{a\to+\infty}\int_{0}^{a} = \frac{1}{2}$$.


 * Dire qu'une variable aléatoire $$Z$$ suit la loi normale standard signifie qu'elle admet pour densité de probabilité la fonction $$\varphi$$

2°)Calcul de probabilités
$$Z$$ étant une variable aléatoire qui suit la loi normale standard, on pose pour tout $$x$$:


 * $$\Phi(x) = P(Z \leq x)$$. Cette fonction s'appelle la fonction de répartition de $$Z$$.


 * $$P(a\leq Z\leq b) = \Phi(b) - \Phi(a)$$


 * $$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$$


 * $$P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5$$ par symétrique de la courbe en cloche.

Pour tout réel $$t \geq 0$$, on a


 * $$P(Z \leq -t) = P(Z \geq t) = 1 - P(Z \leq t)$$


 * $$P(-t \leq Z \leq t) = 1 - [P(Z \leq -t) + P(Z \geq t)]$$


 * $$P(-1 < Z < 1) \approx 0,683$$


 * $$P(-2 < Z < 2) \approx 0,954$$


 * $$P(-3 < Z < 3) \approx 0,997$$


 * Si $$Z$$ suit la loi normale standard, alors $$E(Z) = 0$$ et $$V(Z) = 1$$. Pour cette raison, la loi normale standard s'appelle aussi loi normale centrée réduite. Cette loi s'écrit aussi $$\mathcal{N}(0;1)$$


 * $$Z$$ est une variable aléatoire qui suit la loi $$\mathcal{N}(0;1)$$. Etant donné un nombre $$\alpha$$ tel que $$0 < \alpha < 1$$, il existe un unique nombre strictement positif $$u_{\alpha}$$ tel que $$P(-u_{\alpha} < Z  a) = 0,5 + P(a < Z < 0)$$


 * Si $$a > 0$$, alors $$P(Z < a) = 0,5 + P(0 < Z < a)$$


 * Si $$a > 0$$, alors $$P(Z > a) = 0,5 - P(0 < Z < a)$$

On veut connaître $$u_{\alpha}$$ tel que $$P(-u_{\alpha} < Z < u_{\alpha}) = 1 - \alpha$$.

Alors il faut utiliser l'instruction FracNormale$$\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)$$

II-Loi normale générale
Soit $$X$$ une variable aléatoire d'espérance $$\mu = E(X)$$ et d'écart-type $$\sigma$$.


 * Alors la variable aléatoire $$Z =\frac{X - \mu}{\sigma}$$ a pour espérance $$E(Z) = 0$$ et pour écart-type $$1$$.


 * Dire que la variable aléatoire $$X$$ suit la loi normale de paramètre $$\mu$$ et $$\sigma^{2}$$ signifie que la variable aléatoire $$Z =\frac{X - \mu}{\sigma}$$ suit la loi normale $$\mathcal{N}(0;1)$$. On écrit aussi que $$X$$ suit la loi $$\mathcal{N}(\mu;\sigma^{2})$$.


 * Si la variable aléatoire $$X$$ suit la loi normale $$\mathcal{N}(\mu;\sigma^{2})$$, alors son espérance est $$\mu$$ et sa variance est $$\sigma^{2}$$.

III-Approximation normale d'une loi binomiale
 Théorème de Moivre-Laplace: 

$$X$$ est une variable aléatoire qui suit la loi $$\mathcal{B}(n;p)$$ et $$Z$$ la variable aléatoire $$\frac{X - E(x)}{\sigma(X)} = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$$.


 * $$\lim\limits_{n\to+\infty}P(a < Z < b) = \int_{a}^{b} \varphi(t)dt$$


 * Quand on a $$n \geq 30$$, $$np \geq 5$$ et $$n(1-p) \geq 5$$, l'erreur calculée sur les probabilités est très faible. On ne fera l'approximation que lorsque ces trois conditions sont vérifiées.