Les complexes népériens

Mise en place
On pose $$w = ln(-1)$$.

Ensuite, on remarque que, d'après les propriétés de la forme exponentielle d'un nombre complexe, que $$e^{i\pi} = -1$$.

Donc $$ln\left(e^{i\pi}\right) = ln(-1)$$.

Or, d'après les propriétés de la fonction logarithme népérien, $$ln\left(e^{i\pi}\right) = i\pi$$

Donc $$w = ln(-1) = i\pi$$

Approche par un exemple

 * On veut calculer $$ln(-2)$$.

On pose $$ln(-2) = ln(2 \times -1) = ln(2) + ln(-1) = ln(2) + w $$


 * De même $$ln(-3) = ln(3) + w$$


 * Donc $$ln(-2) + ln(-3) = ln(2) + ln(3) + 2w = ln(6) + 2w$$

Généralisation

 * Pour tout réel strictement négatif $$a$$, on a $$ln(a) = ln(-a) + w$$ avec $$w = i\pi$$.


 * Pour tout réels strictement négatifs $$a$$ et $$b$$, on a $$ln(a) + ln(b) = ln(a \times b) + 2w$$


 * De même, soit la somme $$\Sigma_{n} = ln(a) + ln(b) + ... + ln(p)$$ avec $$n$$ termes.

Alors $$\Sigma_{n} = ln\left(|a \times b \times ... \times p|\right) + nw $$

Propriété
Soit $$a$$ et $$b$$ deux réels strictement négatifs.


 * $$ln(a) \times ln(b) = \left[ln(-a) + w \right] \times \left[ln(-b) + w \right]$$

$$ = ln(-a) \times ln(-b) + ln(-a) \times w + ln(-b) \times w + w^{2}$$

$$= ln(-a) \times ln(-b) + \left[ln(-a) + ln(-b)\right] \times w + (i\pi)^{2}$$

$$= ln(-a) \times ln(-b) + \ln(ab)w - \pi^{2}$$

Exemple

 * $$ln(-2) \times ln(-3) = ln(2) \times ln(3) + ln(6)w - \pi^{2} \approx -9,11 + 5,63i$$

Propriété
$$\frac{ln(a)}{ln(b)} = \frac{ln(-a) + w}{ln(-b) + w} = \frac{ln(-b) + w + ln(-a) - ln(-b)}{ln(-b) + w}$$

$$= \frac{ln(-b) + w}{ln(-b) + w} + \frac{ln(-a) - ln(-b)}{ln(-b) + w} = 1 + \frac{ln\left(\frac{a}{b}\right)}{ln(-b) + w}$$

Exemple
$$\frac{ln(-2)}{ln(-3)} = 1 + \frac{ln\left(\frac{-2}{-3}\right)}{ln(3) + w} \approx 0,96 + 0,12i$$

Propriété

 * On veut calculer $$ln\left(a^{n}\right)$$ avec $$a$$ un réel strictement négatif.


 * Si $$n$$ est pair, $$ln\left(a^{n}\right) = ln\left[(-a)^{n}\right] = n \times ln(-a)$$


 * Si $$n$$ est impair, $$ln\left(a^{n}\right) = ln\left[-(-a)^{n}\right] = ln\left[(-a)^{n}\right] + w = n \times ln(-a) + w$$

Exemples:

 * $$ln\left[(-3)^{4}\right] = ln\left(3^{4}\right) = 4ln(3) \approx 4,39$$


 * $$ln\left[(-3)^{5}\right] = 5ln(3) + w \approx 5,49 + 3,14i$$

Définition
Un nombre complexe népérien est un nombre complexe dont la partie imaginaire s'écrit de la manière $$b = k\pi$$ avec $$k \neq 0$$

L'ensemble des complexes népériens s'écrit $$\mathbb{C}_{ln}$$.

Exemples

 * $$2 + 3\pi i$$ est un complexe népérien avec $$k = 3$$.


 * $$ln(-3) = ln(3) + w = ln(3) + i\pi$$ est un complexe népérien avec $$k = 1$$.


 * $$ln(-3) + ln(-5) = ln(15) + 2w$$ est un complexe népérien avec $$2$$

Conjugué d'un complexe népérien
Le conjugué d'un complexe népérien est le même que pour tout complexe.

Ainsi, soit $$z = a + bw$$, alors son conjugué a pour valeur $$\overline{z} = a - bw$$

Exemple

 * $$\overline{2+3\pi i} = 2 - 3\pi i$$


 * $$\overline{ln(-3)} = ln(3) - w$$


 * $$\overline{ln(-3) + ln(-5)} = ln(15) - 2w$$

Puissance n d'un logarithme népérien de nombre négatifs

 * La formule du binôme de Newton nous donne $$(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right) \times a^{k} \times b^{n-k}$$


 * Donc $$\left[ln(a)\right]^{n} = \left[ln(-a) + w\right]^{n} = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right) \times [ln(-a)]^{k} \times w^{n-k}$$

$$ = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{l}n\\k\end{array}\right) \times [ln(-a)]^{k} \times i^{n-k} \times \pi^{n-k}$$