Formules 1A EI: Nombres complexes

I-L'ensemble C
On note l'ensemble $$\mathbb{C}$$ l'ensemble $$C = \{(a;b),a\in\mathbb{R}, b\in\mathbb{R}\}$$ muni de deux lois notées $$+$$ et $$x$$ définies par:


 * $$(a;b) + (a';b') = (a+a';b+b')$$


 * $$(a;b) \times (a';b') = (aa'-bb';ab'+a'b)$$


 * On identifie au réel $$a$$ le nombre complexe $$(a;0)$$.


 * On note $$i$$ le nombre complexe $$(0;1)$$.


 * Soit $$b$$ un réel, alors $$ib = (0;1) \times (b;0) = (0;b)$$


 * Pour tout nombre complexe $$(a;b)$$, on a $$(a;b) = (a;0) + (0;b) = a+ib$$

Soit le nombre complexe $$z=a+ib$$.


 * On dit que $$a+ib$$ est l'écriture algébrique de $$z$$.


 * On dit que $$a$$ est la partie réelle de $$z$$ et on la note $$Re(z)$$.


 * On dit que $$b$$ est la  partie imaginaire de $$z$$ et on la note $$Im(z)$$.


 * On dit que $$z$$ est un réelsi $$Im(z) = 0$$.


 * On dit que $$z$$ est un imaginaire pur si $$Re(z) = 0$$.

II-Le plan complexe

 * A tout nombre complexe $$z = x+iy$$, on associe le point $$M(x;y)$$. On dit que $$z$$ est l'affixe de $$M$$ et que $$M$$ est le point image de $$z$$.


 * A tout nombre complexe $$z = x+iy$$, on associe le vecteur $$\overrightarrow{w}(x;y)$$. On dit que  $$z$$ est l'affixe de $$\overrightarrow{w}$$ et que $$\overrightarrow{w}$$ est le vecteur image de $$z$$.


 * Soit le point $$A$$ d'affixe $$z_{A}$$ et le point $$B$$ d'affixe $$z_{B}$$. Alors le vecteur $$\overrightarrow{AB}$$ a pour affixe $$z_{B}-z_{A}$$ et le vecteur $$\overrightarrow{BA}$$ a pour affixe $$z_{A} - z_{B}$$.

III-Nombre complexe conjugué

 * On définit le conjugué de $$z=a+ib$$ comme étant $$\overline{z}=a-ib$$.


 * $$z+ \overline{z} = 2Re(z)$$


 * $$z - \overline{z} = 2iIm(z)$$


 * $$z \times \overline{z} = a^{2} + b^{2}$$


 * $$\overline{z+z'} = \overline{z} + \overline{z}'$$


 * $$\overline{z\times z'} = \overline{z} \times \overline{z}'$$


 * $$\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z}'}$$

IV-Module d'un nombre complexe

 * On définit le module d'un nombre complexe $$z=x+iy$$ comme étant $$|z| = \sqrt{z\times\overline{z}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$$.


 * Soit $$M(x;y)$$ le point d'affixe $$z = x+iy$$ et $$O(0;0)$$. Alors $$|z| = OM$$.


 * Soit $$\overrightarrow{w}(x;y)$$ le vecteur d'affixe $$z=x+iy$$. Alors $$|z| = ||\overrightarrow{w}||$$.


 * $$|z\times z'| = |z| \times |z'|$$


 * $$\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$$


 * Inégalité triangulaire: $$|z+z'| \leq |z|+|z'|$$


 * $$\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}}$$


 * $$|z| = |\overline{z}|$$


 * Soient $$A$$ d'affixe $$z_{A}$$ et $$B$$ d'affixe $$z_{B}$$. Alors $$AB = ||\overrightarrow{AB}|| = |z_{B} - z_{A}|$$

V-Argument d'un nombre complexe
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $$\mathcal{R} = \left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$$. Soit $$z=x+iy$$ l'affixe du point $$M(x;y)$$.


 * Alors l'argument de $$z$$, noté $$arg(z)$$, est une mesure de l'angle $$\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right)$$


 * Pour tout $$k\in\mathbb{N}$$, on a $$arg(z+2k\pi) = arg(z)$$.


 * Si $$arg(z) = \theta$$ et $$|z| = r$$, alors les coordonnées polaires dans le plan de $$M$$ sont $$M(r;\theta)$$.


 * On pose l'écriture trigonométrique de $$z$$: $$z = r\left[cos(\theta) + i sin(\theta)\right]$$.

VI-Ecriture exponentielle d'un nombre complexe
Soit le nombre complexe $$z$$ dont $$Re(z) = x$$, $$Im(z) = y$$, $$|z|=r > 0$$ et $$arg(z) = \theta$$.

Alors il peut s'écrire de trois manière différentes:


 * écriture algébrique: $$z=a+ib$$


 * écriture trigonométrique $$z = r \times \left[cos(\theta) + isin(\theta)\right]$$


 * écriture exponentielle $$z = r\times e^{i\theta}$$


 * $$z = z'$$ si $$Re(z) = Re(z')$$ et $$Im(z) = Im(z')$$ ou alors si $$|z| = |z'|$$ et $$arg(z) = arg(z'+2k\pi)$$ avec $$k\in\mathbb{N}$$.


 * $$z \times z' = rr' \times e^{i(\theta+\theta')}$$ donc $$arg(z\times z') = arg(z) + arg(z')$$


 * $$\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} \times e^{i(\theta-\theta')}$$ donc $$arg\left(\frac{z}{z'}\right) = arg(z) - arg(z')$$


 * $$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right) = arg\left(\frac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\right)+2k\pi$$ avec $$k\in\mathbb{N}$$

VII-Formules d'Euler et de Moivre
Formules d'Euler:


 * $$cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$


 * $$sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$


 * Démonstration ici

Formule de Moivre:


 * $$\left[cos(\theta)+isin(\theta)\right]^{n} = cos(n\times\theta)+isin(n\times\theta)$$