Formules 1A EI: Polynômes

A-Polynômes à coefficients dans $$\mathbb{K}$$

 *  Convention:  $$\mathbb{K}$$ désignera indifféremment l'un des ensembles $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$.


 * On appelle polynôme à une indéterminée sur $$\mathbb{K}$$ toute fonction de la forme

$$P:\mathbb{K}~\longrightarrow~\mathbb{K}$$

$$x \longmapsto P(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ... + a_{n}x^{n}$$

où $$n \in \mathbb{N}$$ et $$a_{0};a_{1};a_{2};...;a_{n}$$


 *  Notation:  On note $$\mathbb{K}[X]$$ l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur $$\mathbb{K}$$.

On note $$0_{\mathbb{K}}$$ le polynôme nul: $$0_{\mathbb{K}}: x \longmapsto 0$$. On peut donc écrire que $$0_{\mathbb{K}}(x) = 0$$

B-Degré et valuation
$$\bullet$$ Définition: On appelle degré d'un polynôme non nul le plus grand entier $$k$$ tel que $$a_{k} \ne 0$$. Ainsi, on note $$deg(P)$$ le degré du polynôme $$P$$.

$$\bullet$$ Si $$deg(P) = n$$, alors $$a_{n}$$ est le coefficient dominant de $$P$$.

$$\bullet$$ Si $$deg(P) = a_{0}$$, alors $$P$$ est un polynôme constant.

$$\bullet$$ Définition: On appelle valuation d'un polynôme non nul le plus petit entier $$k$$ tel que $$a_{k} \ne 0$$. Ainsi, on note $$val(P)$$ la valuation du polynôme $$P$$.

$$\bullet$$  Convention:  Pour le polynôme nul $$0_{\mathbb{K}}$$, dont tous les coefficients sont nuls, la convention est la suivante:

$$deg(0_{\mathbb{K}}) = -\infty$$ et $$val(0_{\mathbb{K}}) = +\infty$$.

$$\bullet$$  Propriété:  Pour tout couple $$(P;Q)$$ de polynôme, on admet les propriétés suivantes:


 * $$deg(P+Q) \leq max[deg(P);deg(Q)]$$


 * $$deg(P \times Q) = deg(P) + deg(Q)$$


 * $$val(P+Q) \geq min[val(P);val(Q)]$$


 * $$val(P \times Q) = val(P) + val(Q)$$

A-Division euclidienne
Soit $$A$$ et $$B$$ deux polynômes sur $$\mathbb{K}$$. On suppose que $$B \ne 0_{\mathbb{K}}$$. Il existe un unique couple $$(Q;R)$$ de polynômes tels que $$A(x) = B(x) \times Q(x) + R(x)$$ avec $$deg(R) < deg(B)$$.

Cette écriture est la division euclidienne de $$A$$ par $$B$$, où $$A$$ est le dividende, $$B$$ le diviseur,$$Q$$ est le quotient et $$R$$ le reste.

B-Racines d'un polynôme
Définition: Soit $$P$$ un polynôme sur $$\mathbb{K}$$ et $$a \in \mathbb{K}$$. $$a$$ est une racine (ou un zéro) de $$P$$ si et seulement si $$P(a) = 0$$.

Propriété: $$a$$ est une racine de $$P$$ si et seulement si $$(x-a)$$ divise $$P(x)$$.

Définition: On dit que $$a$$ est une racine d'ordre $$k$$ de $$P$$ si et seulement si $$(x-a)^{k}$$ divise $$P(x)$$ et $$(x-a)^{k+1}$$ ne divise pas $$P(x)$$. Dans ce cas là, $$k$$ est appelé ordre de multiplicité de la racine $$a$$.

Théorème: $$a$$ est une racine d'ordre $$k \in \mathbb{N}$$ de $$P$$ si et seulement si $$P(a) = P'(a) = P''(a) = ... = P^{(k-1)}(a) = 0$$ et $$P^{(k)}(a) \ne 0$$.