Les complexes népériens: logarithme générale

Rappels
$$log_{a}(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)}$$

On pose $$lt(x) = ln(-x) + i\pi$$

Logarithme terrassien complexe
S'utilise pour $$a < 0$$ et pour $$x < 0$$.

$$logT_{a}(x) = \frac{lt(x)}{lt(a)} = \frac{ln(-x) + i\pi}{ln(-a) + i\pi} = \frac{ln(-x)}{ln(-a)+i\pi} + \frac{i\pi}{ln(-a)+i\pi} = A + B$$

$$A = \frac{ln(-x)}{ln(-a)+i\pi} = \frac{ln(-x)[ln(-a)-i\pi]}{[ln(-a)+i\pi][ln(-a)-i\pi]} = \frac{ln(-x)ln(-a) - i~ln(-x)\pi}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} = \frac{ln(-x)ln(-a)}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}}-i\frac{ln(-x)\pi}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}}$$

$$B = \frac{i\pi}{ln(-a)+i\pi} = \frac{i\pi[ln(-a)-i\pi]}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} = \frac{i~ln(-a)\pi}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} + \frac{\pi^{2}}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} = \frac{\pi^{2}}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} + i\frac{ln(-a)\pi}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}}$$

donc $$logT_{a}(x) = \frac{ln(-x)ln(-a)}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}}-i\frac{ln(-x)\pi}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} + \frac{\pi^{2}}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} + i\frac{ln(-a)\pi}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}}$$

donc $$logT_{a}(x) = \frac{ln(-x)ln(-a)+\pi^{2}}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} + i\pi\frac{ln(-a) - ln(-x)}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}}$$

Donc $$logT_{a}(x) = \frac{ln(-x)ln(-a)+\pi^{2}}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}} + i\pi\frac{ln\left(\frac{a}{x}\right)}{ln(-a)^{2}+\pi^{2}}$$

Exemple d'utilisation
Prenons $$a = -5$$ et $$x = -2.3$$

$$logT_{(-5)}(-2.3) = \frac{ln(2.3)ln(5)+\pi^{2}}{ln(5)^{2}+\pi^{2}} + i\pi\frac{ln(\frac{5}{2.3})}{ln(5)^{2}+\pi^{2}} \approx 0.8997 + 0.1958i$$

donc

Logarithme terrassien semi-complexe
S'utilise pour $$a > 0$$ et $$x < 0$$.

$$logt_{a}(x) = \frac{lt(x)}{ln(a)} = \frac{ln(-x) + i\pi}{ln(a)} = \frac{ln(-x)}{ln(a)} + \frac{i\pi}{ln(a)} = log_{a}(-x) + \frac{i\pi}{ln(a)}$$

Logarithme terrassien à valeur réelle
S'utilise pour $$a < 0$$ et $$x > 0$$. L'écriture $$logRT_{a}(x)$$ ou $$logR_{a}(x)$$ est à choisir.

$$logRT_{a}(x) = \frac{ln(x)}{ln(-a)+i\pi} = \frac{ln(x)[ln(-a)-i\pi]}{ln(-a)^{2}\pi^{2}} = \frac{ln(x)ln(-a)}{ln(-a)^{2}\pi^{2}}-i\frac{\pi}{ln(-a)^{2}\pi^{2}} = \frac{ln(x)}{ln(-a)\pi^{2}} - i\frac{1}{ln(-a)^{2}\pi} = \frac{ln(x)}{ln(-a)}\times \frac{1}{\pi^{2}} - \frac{i}{ln(-a)^{2}\pi}$$

$$= \frac{log_{(-a)}(x)}{\pi^{2}} - \frac{i}{ln(-a)^{2}\pi}$$