Méthodes 1A EI: Géométrie analytique

Sachant une droite contenue et un point contenu
Soit le point $$A(1;2;3)$$ et la droite $$\mathcal{D}$$ de représentation paramétrique

$$\left\{\begin{array}{l} x = 4 + 7t\\ y = 5 + 8t\\ z = 6 + 9t \end{array}\right.

t \in \mathbb{R} $$

Obtenir sa représentation paramétrique
Soit le plan $$\mathcal{P}:2x+y+3z=5$$ et le plan $$\mathcal{P}':4x-y+z=8$$

Déterminons l'équation de la droite $$\mathcal{D} = \mathcal{P} \cap \mathcal{P}'$$.

En rassemblant les équations des deux plans, on obtient le système suivant:

$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+y+3z=5 (1)\\ 4x-y+z=8 (2) \end{array} \right. $$

On pose $$x = t$$

donc $$(1): 2t + y + 3z = 5 \Longleftrightarrow y = -3z - 2t + 5$$

donc $$(2): 4t - y + z = 8 \Longleftrightarrow 4t - (-3z - 2t + 5) + z = 8$$

$$\Longleftrightarrow 4t + 2t + 3z + z + 5 = 8 \Longleftrightarrow 6t + 4z = 3 \Longleftrightarrow 4z = 3 - 6t \Longleftrightarrow z = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}t$$

donc $$(1): y= -3\left(\frac{3}{4} - \frac{3}{2}t\right) - 2t + 5 = \frac{-9}{4} + \frac{9}{2}t - 2t + 5 = \frac{11}{4} + \frac{5}{2}t$$

Une représentation paramétrique de $$\mathcal{D}$$ est donc

$$ \left\{\begin{array}{l} x=t\\ y = \frac{11}{4} + \frac{5}{2}t \\ z = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}t \end{array}\right. $$

Avec un point et un vecteur normal
Soit le plan $$\mathcal{P}$$ passant par le point $$A(1;2;3)$$ et de vecteur normal $$\overrightarrow{n}(4;5;6)$$.

Une équation cartésienne de $$\mathcal{P}$$ est $$4x + 5y + 6z = d$$.

Comme $$A$$ appartient à $$\mathcal{P}$$, on peut remplacer $$x; y; z$$ par ses coordonnées.

Donc $$d = 4 \times 1 + 5 \times 2 + 6 \times 3 = 4 + 10 + 18 = 32$$.

Donc une équation cartésienne de $$\mathcal{P}$$ est $$4x + 5y + 6z = 32$$