Correction des exercices de Spé Maths

1°)
On a $$f(x) = ax^{2} + bx + c$$.

On sait que $$f(-1) = -6$$, que $$f(1) = -2$$ et que $$f(2) = -9$$.

On peut donc poser le système suivant:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a\times(-1)^{2} + b\times(-1) + c = -6 \\a\times1^{2} + b \times 1 + c = -2 \\a\times2^{2} + b\times 2 + c = -9 \end{array}\right.$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a - b + c = -6 \\a + b + c = -2 \\4a + 2b + c = -9 \end{array}\right.$$

$$\Longleftrightarrow$$

$$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{array} \right) ~ \times ~ \left( \begin{array}{c} a \\b \\c \end{array} \right) ~ = ~ \left( \begin{array}{c} -6 \\-2 \\-9 \end{array} \right) $$

2°)
$$\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&1\\1&1&1\\4&2&1 \end{array} \right) ~ \times ~ \frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}1&-3&2\\-3&3&0\\2&6&-2\end{array}\right) ~ = ~ \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) ~ = ~ I $$

Donc ces deux matrices sont inverses l'une de l'autre.

3°)
On pose $$A = \left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&1&1\\4&2&1\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)$$ et  $$Y = \left(\begin{array}{c}-6\\-2\\-9\end{array}\right)$$.

On sait que $$A \times X = Y$$ donc $$X = A^{-1} \times Y$$.

D'après la question 2°), $$A^{-1} = \frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}1&-3&2\\-3&3&0\\2&6&-2\end{array}\right)$$.

Donc $$X = \frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}1&-3&2\\-3&3&0\\2&6&-2\end{array}\right)~ \times~ \left(\begin{array}{c}-6\\-2\\-9\end{array}\right)~ = ~ \left(\begin{array}{c}-3\\2\\-1\end{array}\right)$$.

Donc $$a = -3b=2c=-1$$

Donc $$f(x) =-3x + 2x - 1$$.

a)
$$(S) \left\{ \begin{array}{rcl} (3-\lambda)x - 2y = -4 \\5x - (4+\lambda)y = 5 \end{array}\right.$$

On peut donc poser l'équation matricielle suivante

$$\left(\begin{array}{cc}(3-\lambda)&-2\\5&(4+\lambda)\end{array}\right)~\times~\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)~=~\left(\begin{array}{c}-4\\5\end{array}\right)$$.

Soit $$A = \left(\begin{array}{cc}(3-\lambda)&-2\\5&(4+\lambda)\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)Y=\left(\begin{array}{c}-4\\5\end{array}\right)$$.

On a donc $$A \times X = Y \Longleftrightarrow X = A^{-1} \times Y$$.

Donc le système admet un unique couple de solution si $$A$$ est inversible, donc si $$det(A) \neq 0$$.

$$det(A) = (3-\lambda) \times(-(4+\lambda)) + 10$$

$$= -12 - 3\lambda + 4\lambda + \lambda^{2} = \lambda^{2} + \lambda - 2$$

Donc le système admet un unique couple de solution $$\lambda^{2} + \lambda - 2 \neq 0$$

b)
Dans ce cas là, $$X = A^{-1} \times Y$$.

$$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \times \left(\begin{array}{cc}(-4-\lambda)&2\\-5&(3-\lambda)\end{array}\right)$$

Donc $$\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \frac{1}{det(A)}\times \left(\begin{array}{cc}(-4-\lambda)&2\\-5&(3-\lambda)\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}-4\\5\end{array}\right)$$

$$= \frac{1}{det(A)}\left(\begin{array}{c}(-4+\lambda)\times(-4)+10\\20+5(3-\lambda)\end{array}\right) = \frac{1}{det(A)}\left(\begin{array}{c}26+4\lambda\\35-5\lambda\end{array}\right)$$

Donc $$x = \frac{26+4\lambda}{det(A)} = \frac{26+4\lambda}{\lambda^{2} + \lambda - 2}$$

$$y = \frac{35-5\lambda}{det(A)} = \frac{35-5\lambda}{\lambda^{2} + \lambda - 2}$$

a)
$$\lambda^{2} + \lambda - 2 = 0$$

$$\Delta = 1^{2} - 4 \times 2 \times (-2) = 1 + 8 = 9 > 0$$

Donc $$\lambda_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$\lambda_{2}= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

b)
Cette partie est un peu inutile si tu veux mon avis, on ne fait que vérifier qu'il n'y a pas de solution pour les deux $$\lambda$$, or on a déjà prouvé que ça ne pouvait pas marché. Après, si tu veux, je pourrai quand même te l'écrire.