Formules 1A EI: Fractions rationnelles

Prérequis: Formules 1A EI: Polynômes

I-Définitions
Dans tout ce qui suit, $$\mathbb{K}$$ désignera indifféremment $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$.

Définition: On appelle fraction rationnelle à coefficients dans $$\mathbb{K}$$ toute fonction de la forme:

$$F: \mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{K}$$

$$x \longmapsto \frac{P(x)}{Q(x)}$$ où $$P$$ et $$Q$$ sont deux polynômes à coefficients dans $$\mathbb{K}$$ et $$Q \ne 0_{\mathbb{K}}$$.

On dit que $$\frac{P}{Q}$$ est un représentant de $$F$$. Il suffit de multiplier un représentant par un réel pour obtenir un autre représentant.

Définition: Les racines de $$P$$ sont aussi les racines de $$F$$. Les racines de $$Q$$ sont appelées pôles de $$F$$. Si $$a$$ est une racine d'ordre $$k$$ de $$Q$$, alors $$a$$ est un pôle d'ordre $$k$$ de $$F$$.

II-Représentants irréductibles
Définition: $$\frac{P}{Q}$$ est un représentant irréductible de $$F$$ si et seulement si $$PGCD(P;Q) = 1$$. Ainsi, $$P$$ et $$Q$$ n'ont aucune racine en commun.

Obtention: Soit $$F$$ une fraction rationnelle définie par $$F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$$ et soit $$D(x)=PGCD[P(x);Q(x)]$$

$$P(x) = P_{1}(x) \times D(x)$$

$$Q(x) = Q_{1}(x) \times D(x)$$

$$PGCD[P_{1}(x); Q_{1}(x)] = 1$$

$$F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_{1}(x) \times D(x)}{Q_{1}(x) \times D(x)} = \frac{P_{1}(x)}{ Q_{1}(x)}$$

$$\frac{P_{1}(x)}{ Q_{1}(x)}$$ est un représentant irréductible de $$F$$.