Formules: Continuité et dérivation

I-Continuité d'une fonction

 * Dire que $$f$$ est  continue en  $$a$$ signifie que $$\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$$.


 * Dire que $$f$$ est continue sur un intervalle $$I$$ signifie que $$f$$ est continue en tout point de $$I$$.


 * Si la suite $$(u_{n})$$ est définie par $$u_{n+1} = f(u_{n})$$ et a une limite finie $$L$$, alors $$L = f(L)$$.

II-Dérivabilité et continuité

 * Si $$f$$ est dérivable en $$a$$, alors $$f$$ est continue en $$a$$. (réciproque fausse)


 * Si $$f$$ est dérivable sur $$I$$, alors $$f$$ est continue sur $$I$$. (réciproque fausse)


 * Les fonctions polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, logarithme et leurs sommes, produits et quotient sont continues sur leurs intervalles de définition.

III-Fonction continues et résolution d'équations

 * $$f$$ est continue sur $$[a;b]$$. Si $$k$$ est compris entre $$f(a)$$ ou $$f(b)$$, alors il existe au moins un nombre $$c$$ tel que $$f(c) = k$$.


 * Si $$f$$ est continue et strictement monotone, alors $$c$$ est unique.

IV-Calculs de dérivée
$$u$$ est une fonction continue et dérivable sur un intervalle $$I$$, et $$n$$ un entier naturel.


 * Si $$n \geq 2$$, alors $$(u^{n})' = n \times u' \times u^{n-1}$$


 * Si $$n \geq 1$$, alors $$\left(\frac{1}{u^{n}}\right)'= -n\frac{u'}{u^{n+1}}$$

Cela s'écrit aussi $$(u^{-n})' = -nu'u^{-n-1}$$


 * $$\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$


 * Si $$g(x) = f(u(x))$$, alors $$g'(x) = u'(x) \times f'(u(x))$$

1°)Généralités

 * $$f'(a) = \lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$


 * L'équation de la tangente de $$f$$ en $$a$$ est$$y=f'(a)(x-a)+ f(a)$$

2°)Fonction dérivées

 * $$f(x) = k$$(constante), alors $$f'(x) = 0$$


 * $$f(x) = x$$, alors $$f'(x) = 1$$


 * $$f(x) = \frac{1}{x}$$, alors $$f'(x) = \frac{-1}{x^{2}}$$


 * $$f(x) = x^{n}$$ avec $$n\in\mathbb{N}^{*}$$, alors $$f'(x) =n\times x^{n-1}$$


 * $$f(x) = \sqrt{x}$$, alors $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

3°)Dérivé de fonctions composés
Soit $$u$$ et $$v$$ deux fonctions:


 * $$f(x) = u(x) + v(x)$$, alors $$f'(x) = u'(x) + v'(x)$$


 * $$f(x) = \lambda u(x)$$, alors $$f'(x) = \lambda u'(x)$$


 * $$f(x) = u(x) \times v(x)$$, alors $$f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)$$


 * $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$, alors $$f'(x) = \frac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{[v(x)]^{2}}$$