Corrections des exercices de types BAC

1°)a)
On veut le démontrer par récurrence.

 Initialisation: 

Pour $$n = 0$$, on a $$u_{0} = 0$$.

Or, $$0 \leq 0 < 4$$.

Donc $$0 \leq u_{0} < 4$$

Donc c'est vrai pour $$n = 0$$.

 Hérédité:  On suppose que c'est vrai pour un certain entier $$n$$ quelconque.

$$0 \leq u_{n} < 4$$

$$0 \leq 3u_{n} < 12$$

$$4 \leq 3u_{n}+4 < 16$$

$$2 \leq \sqrt{3u_{n}+4} < 4$$

$$2 \leq u_{n+1} < 4$$

$$0 < u_{n+1} < 4$$

 Conclusion: 

Pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a

$$0 \leq u_{n} < 4$$.

1°)b)
On calcule $$u_{n+1} - u_{n}$$

$$u_{n+1} - u_{n} = \sqrt{3u_{n}+4} - u_{n} = \frac{(\sqrt{3u_{n}+4} - u_{n})\times (\sqrt{3u_{n}+4} + u_{n})}{\sqrt{3u_{n}+4} + u_{n}}$$

$$= \frac{-u_{n}^{2} + 3u_{n} +4}{u_{n+1} + u_{n}}$$


 * On sait d'après la question 1°)a) que $$u_{n+1} > 0$$ et que $$u_{n} \geq 0$$, donc le dénominateur est postif, donc le signe va dépendre du numérateur


 * On a un trinôme au numérateur: $$-u_{n}^{2} + 3u_{n} +4$$. On calcule $$\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 \times (-1) \times 4 = 25 > 0$$

Donc il y a 2 racines: $$u_{n_{1}} = -1$$ et $$u_{n_{2}} = 4$$ Comme $$a = -1 < 0$$, le trinôme sera positif sur $$[-1;4]$$, donc sur $$[0;4[$$. Or, on sait que $$u_{n} \epsilon [0;4[$$, donc le numérateur est positif, donc $$u_{n+1} - u_{n}$$ est positif, donc $$u_{n+1} \geq u_{n}$$ donc $$(u_{n})$$ est croissante.

1°)c)

 * D'après la question 1°)a), la suite $$u_{n}$$ est majorée par $$4$$.


 * D'après la question 1°)b), la suite $$(u_{n})$$ est croissante.

Donc, d'après le théorème de convergence monotone, $$(u_{n})$$ converge.

2°)a)

 * $$4-u_{n+1} = \frac{(4-u_{n+1}) \times (4 + u_{n+1})}{4+u_{n+1}} = \frac{(4-\sqrt{3u_{n} + 4}) \times (4 + \sqrt{3u_{n} + 4})}{4+\sqrt{3u_{n} + 4}}$$

$$= \frac{16 + 4\sqrt{3u_{n} + 4} - 4\sqrt{3u_{n} + 4} - \sqrt{3u_{n} + 4}^{2}}{4+\sqrt{3u_{n} + 4}} = \frac{16 - 4 -3u_{n}}{4+\sqrt{3u_{n} + 4}}$$

$$= \frac{12 - 3u_{n}}{4+\sqrt{3u_{n} + 4}}$$


 * $$\frac{1}{2}(4-u_{n}) = 2 - \frac{u_{n}}{2} = \frac{12}{6} - \frac{3u_{n}}{6} = \frac{12 - 3u_{n}}{6} = \frac{12 - 3u_{n}}{4 + 2}$$


 * On a $$u_{n+1} \geq 2$$ (d'après la question 1°)a) donc $$\sqrt{3u_{n} + 4} \geq 2$$

donc $$\frac{12 - 3u_{n}}{4+\sqrt{3u_{n} + 4}} \leq \frac{12 - 3u_{n}}{4 + 2}$$

donc $$4-u_{n+1} \leq \frac{1}{2}(4-u_{n})$$

2°)b)
On va chercher à le prouver par récurrence:

On veut $$0 \leq w_{n} \leq \frac{1}{2^{n-2}}$$

 Initialisation: 


 * Pour $$n=0$$, on a $$u_{0} = 0$$ donc $$w_{0} = 4 - u_{0} = 4 - 0 = 4$$


 * $$\frac{1}{2^{0-2}} = \frac{1}{2^{-2}} = 2^{2} = 4$$


 * Or, $$0 \leq 4 \leq 4$$ donc $$0 \leq w_{0} \leq 4$$

Donc c'est vrai pour $$n=0$$

 Hérédité: 


 * On suppose que $$0 \leq w_{n} \leq \frac{1}{2^{n-2}}$$ est vrai pour un certain $$n$$ quelconque.

On veut $$0 \leq w_{n+1} \leq \frac{1}{2^{n-1}}$$


 * $$0 \leq w_{n} \leq \frac{1}{2^{n-2}}$$

donc 0 \leq w