Devoir Maison 11 de maths

a)
On sait que les coordonnées de $$M$$ sont $$x \in [0;120]$$ et $$y\in [0;120]$$.

Donc $$M$$ peut se situer sur le carré de côté $$120$$, qui a donc pour aire $$120^{2} = 14400$$

b)
Cette fois-ci, comme Juliette et Roméo doivent arriver durant la première heure, on a $$x\in[0;60]$$ et $$y\in[0;60]$$.

Donc $$M$$ peut se situer sur le carré de côté $$60$$. Donc son aire est $$60^{2} = 3600$$

c)
On peut remarquer que $$4 \times 3600 = 14400$$. Donc, $$4 \times P(E) = 1$$ car leur arrivée sur les deux heures est un événement certain. Donc $$P(E) = \frac{1}{4} = 0,25$$.

2°)
Nous savons que les variables aléatoires $$X$$ et $$Y$$ suivent toutes les deux la loi uniforme $$f$$ sur $$[0;120]$$. Donc $$f(x) = \frac{1}{120-0} = \frac{1}{120}$$.

a)
On sait que Roméo arrive à $$17h15$$. Sa tolérance étant de $$20 min$$, il peut donc attendre jusqu'à $$17h35$$. Mais Juliette a très bien pu arriver la première. Dans ce cas là, elle est arrivée au maximum $$10min$$ avant Roméo, donc arrivée au minimum à $$17h05$$.

Concrètement, elle a pu arriver entre $$17h05$$ et $$17h35$$.

On veut donc calculer $$P(5\leq X \leq 35) = \frac{35-5}{120} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0,25$$

b)
On sait que Juliette arrive à $$17h15$$. Sachant que sa tolérance est de $$10min$$, Roméo peut arriver au maximum à $$17h25$$. Mais il a très bien pu arriver plus tôt que Juliette. Dans ce cas là, il n'a pu attendre que $$20min$$ et est donc arrivé au minimum à $$16h55$$. Seulement, il n'a pu arriver qu'à partir de $$17h00$$.

Concrètement, il n'a pu arriver qu'entre $$17h00$$ et $$17h25$$.

On veut donc calculer $$P(0 \leq Y \leq 25) = \frac{25-0}{120} = \frac{25}{120} = \frac{5}{24} \approx 0,21$$

a)
Comme $$X < Y$$, c'est donc que Juliette est arrivée avant Roméo. Donc on peut établir que $$Y - X \leq 10$$.


 * Soit le triangle isocèle rectangle de côté$$_{1} = 110$$, de côté$$_{2} = 110$$ et d’hypoténuse$$= \sqrt{110^{2} + 110^{2}} = \sqrt{24200} = 2\sqrt{6050} \approx 156$$ que l'on appellera petit triangle.


 * Soit le triangle isocèle rectangle de côté$$_{1} = 120$$, de côté$$_{2} = 120$$ et d’hypoténuse$$=\sqrt{120^{2} + 120^{2}} = \sqrt{28800} = 4\sqrt{1800} = 12\sqrt{200} = 24\sqrt{50} \approx 170$$ que l'on appellera grand triangle.

Alors l'aire que nous avons hachurée en bleu a pour valeur $$\mathcal{A}_{grand~triangle} - \mathcal{A}_{petit~triangle}$$.


 * $$\mathcal{A}_{grand~triangle} = \frac{120^{2}}{2} = 7200$$


 * $$\mathcal{A}_{petit~triangle} = \frac{110^{2}}{2} = 6050$$

Donc $$\mathcal{A}_{bleu} = 7200 - 6050 = 1150$$.

On est partit du fait que $$X < Y$$, donc il s'agit de $$P_{X < Y}(Y-X\leq10) = \frac{1150}{7200} = \frac{23}{144} \approx 0.160$$

b)
Comme $$Y < X$$, c'est donc que Roméo est arrivée avant Juliette. On peut donc établir $$X - Y \leq 20$$.


 * On considère le même grand triangle que dans la question 3°)a).


 * Soit le triangle isocèle rectangle de côté$$_{1} = 100$$, de côté$$_{2} = 100$$ et d’hypoténuse$$= \sqrt{100^{2} + 100^{2}} = \sqrt{20000} = 4\sqrt{1250} \approx = 141$$ que l'on appellera petit triangle.

Alors l'aire que nous avons hachurée en vert a pour valeur $$\mathcal{A}_{grand~triangle} - \mathcal{A}_{petit~triangle}$$.


 * $$\mathcal{A}_{grand~triangle} = 7200$$


 * $$\mathcal{A}_{petit~triangle} = \frac{100^{2}}{2} = 5000$$

Donc $$\mathcal{A}_{vert} = 7200 - 5000 = 2200$$.

On est partit du fait que $$Y < X$$, donc il s'agit de $$P_{Y < X}(X-Y\leq20) = \frac{2200}{7200} = \frac{11}{36} = \frac{44}{144} \approx 0,306$$

c)
On remarque $$(XX)))$$

$$ = P(X<Y) \times P_{X<Y}(F) + P(Y<X) \times P_{Y<X}(F) = \frac{1}{2} \times \frac{23}{144} + \frac{1}{2} \times \frac{44}{144} $$

$$=\frac{1}{2}\left(\frac{23+44}{144}\right) = \frac{1}{2}\times \frac{67}{144} = \frac{67}{288} \approx 0,23$$

On peut aussi remarquer que $$\mathcal{A}_{bleu+vert} = \mathcal{A}_{grand~carre} - \left(\mathcal{A}_{petit~triangle~3a)} + \mathcal{A}_{petit~triangle~3b)}\right)$$


 * $$\mathcal{A}_{grand~carre} = 120^{2} = 14400$$


 * $$\mathcal{A}_{petit~triangle~3a)} = 6050$$


 * $$\mathcal{A}_{petit~triangle~3b)} = 5000$$

Donc $$\mathcal{A}_{bleu+vert} = 14400 - (6050 + 5000) = 14400 - 11050 = 3350$$

Et $$\frac{3350}{14400} = \frac{67}{288} \approx 0,23$$

Donc on a bien $$P(F) \approx 0,23$$

4°)
On peut établir la condition où ils se rencontrent: $$\left[(X<Y)~ET~(Y-X<10)\right]~OU~\left[(Y<X)~ET~(X-Y<20)\right]$$.

L'algorithme sera donc

Entrée - $$R$$ prend la valeur $$0$$ Traitement - Pour $$I$$ variant de $$1$$ à $$100$$ faire -$$X$$ prend une valeur aléatoire entre $$0$$ et $$120$$ -$$Y$$ prend une valeur aléatoire entre $$0$$ et $$120$$ - Si $$((X 10)$$

$$P(T>10) = 1 - P(T<10) = 1 - {\displaystyle \int_{0}^{10} 0,1e^{-0,1x}}$$

$$= 1 - \left[-e^{-0,1x}\right]_{0}^{10} = 1 - \left(-e^{-0,1 \times 10} + e^{-0,1 \times 0}\right) = 1 + e^{-1} - e^{0} = 1 + e^{-1} - 1 = e^{-1} \approx 0,37$$

b)
On veut donc calculer $$P(T < 20)$$

$$P(T < 20) = {\displaystyle \int_{0}^{20} 0,1e^{-0,1x}} = \left[-e^{-0,1x}\right]_{0}^{20} = -e^{-0,1\times20} + e^{-0,1\times0}$$

$$= 1 - e^{-2} \approx 0,86$$

c)
On veut donc calculer $$P(5 < X < 10)$$.

$$P(5 < X < 10) = {\displaystyle \int_{5}^{10} 0,1e^{-0,1x}} = \left[-e^{0,1x}\right]_{5}^{10}$$

$$= -e^{-0,1\times 10} + e^{-0,1 \times 5} = e^{-0,5} - e^{-1} \approx 0,24$$

3°)
On veut donc calculer $$P_{T > 15}(T<25)$$

$$P_{T > 15}(T<25) = 1 - P_{T > 15}(T>25) = 1 - P(T>10)$$

$$ = 1- (1-P(T<10)) = P(T<10) = {\displaystyle \int_{0}^{10} 0,1e^{-0,1x}}$$

$$=\left[-e^{0,1x}\right]_{0}^{10} = -e^{-0,1\times10} + e^{-0,1\times0} = 1 - e^{-1} \approx 0,63 $$

4°)
$$(T \geq m)$$ et $$(T < m)$$ sont des événements contraires.

Or $$P(T<m) = P(T\geq m)$$

Donc $$P(T<m) = 1 - P(T<m) \Longleftrightarrow P(T < m) + P(T < m) = 1$$

$$ \Longleftrightarrow 2P(T < m) = 1 \Longleftrightarrow P(T<m) = 0,5$$

On va donc chercher à trouver $$m$$ tel que $$P(T<m) = 0,5$$.

$$P(T<m) = 0,5 \Longleftrightarrow {\displaystyle \int_{0}^{m} 0,1e^{-0,1x}} = 0,5 \Longleftrightarrow \left[-e^{-0,1x}\right]_{0}^{m} = 0,5$$

$$\Longleftrightarrow 1 - e^{-0,1m} = 0,5 \Longleftrightarrow e^{-0,1m} = 0,5 \Longleftrightarrow ln(e^{-0,1m}) = ln(0,5)$$

$$-0,1m = -ln(2) \Longleftrightarrow m = 10ln(2) \approx 7$$

Donc la durée de vie médiane du monstre lors d'une partie est de $$7~minutes$$.