Formules: Logarithme népérien

I- La fonction logarithme népérien

 * $$ln(e^{x}) = x$$


 * $$e^{ln(x)} = x$$


 * Si $$ln(a) = b$$, alors $$e^{b} = a$$


 * La fonction $$ln$$ est strictement croissante sur $$]0;+\infty[$$


 * Si $$ln(a) = ln(b)$$, alors $$a = b$$.


 * $$a < b \Leftrightarrow ln(a) < ln(b)$$.

II-Propriétés de la fonction logarithme népérien

 * $$ln(ab) = ln(a) + ln(b)$$


 * $$ln\left(\frac{a}{b}\right) = ln(a) - ln(b)$$


 * $$ln\left(\frac{1}{b}\right) = -ln(b)$$


 * $$ln(a_{1} \times a_{2} \times ... \times a_{n}) = ln(a_{1}) + ln(a_{2}) + ... + ln(a_{n})$$


 * $$ln\left(a^{n}\right) = n \times ln(a)$$ avec $$n \in \mathbb{Z}$$


 * $$ln\left(\sqrt{a}\right) = \frac{1}{2}ln(a)$$


 * $$ln\left(\sqrt[n]{a}\right) = \frac{1}{n}ln(a)$$ avec $$n \in \mathbb{N}^{*}$$

III-Etude de la fonction logarithme népérien

 * $$ln'(x) = \frac{1}{x}$$


 * $$\lim\limits_{x\to0} ln(x) = -\infty$$


 * $$\lim\limits_{x\to+\infty} ln(x) = +\infty$$


 * $$\lim\limits_{x\to0} \frac{ln(x+1)}{x} = 1$$


 * $$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$$


 * $$\lim\limits_{x\to0} xln(x) = 0$$


 * Si $$f(x) = ln[u(x)]$$, alors $$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$$

IV-La fonction logarithme décimal

 * $$log(x) = \frac{ln(x)}{ln(10)}$$


 * $$log(ab) = log(a) + log(b)$$


 * $$log\left(\frac{a}{b}\right) = log(a) - log(b)$$


 * $$log\left(\frac{1}{b}\right) = log(-b)$$


 * $$log(a_{1} \times a_{2} \times ... \times a_{n}) = log(a_{1}) + log(a_{2}) + ... + log(a_{n})$$


 * $$log\left(a^{n}\right) = n \times log(a)$$ avec $$n \in \mathbb{Z}$$


 * $$ln$$ et $$log$$ ont le même sens de variation.


 * $$log_{a}(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)}$$