Formules 1A EI: Résolution d'équation avec des complexes

I-Equation du second degré à coefficient réels
Soit l'équation $$(E): az^{2} + bz + c = 0$$ avec $$a$$, $$b$$ et $$c$$ des réels.

Il faut commencer par calculer le discriminant $$\Delta = b^{2}-4ac$$.

Trois cas se présentent en fonction de la valeur de $$\Delta$$:


 * Si $$\Delta > 0 $$, alors il y a deux solutions réels:

$$z_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$z_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$


 * Si $$\Delta = 0$$, alors il y a une solution réel:

$$z = \frac{-b}{2a}$$


 * Si $$\Delta < 0$$, alors il y a deux solutions complexes conjuguées:

$$z_{1} = \frac{-b}{2a} - i\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$z_{2} = \frac{-b}{2a} + i\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$$

Explications
Soit $$a$$ un nombre complexe. On veut trouver les racines carrées de $$a$$, c'est à dire $$z = \sqrt{a}$$.


 * On a donc $$z^{2} = a$$.

On pose $$z = x+iy$$ et $$a = \alpha + i\beta$$. Il faut donc trouver les valeurs de $$x$$ et les valeurs de $$y$$.

Donc $$(x+iy)^{2} = \alpha + i\beta$$

Donc $$x^{2} + 2ixy - y^{2} = \alpha +i\beta$$

Donc $$x^{2} - y^{2} + i \times 2xy = \alpha + i\beta$$

Donc $$x^{2} - y^{2} = \alpha$$ et $$2xy = \beta$$

Nous savons déjà deux équations pour notre système.


 * On peut en trouver une troisième.

On sait que $$z^{2} = a$$

Donc $$|z^{2}| = |a|$$

Donc $$|z|^{2} = |a|$$

Donc $$\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2} = \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}$$

Donc $$x^{2}+y^{2} = \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}$$

Voilà notre troisième équation.


 * Récapitulons les

$$L_{1}: x^{2} - y^{2} = \alpha$$

$$L_{2}: x^{2}+y^{2} = \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}$$

$$L_{3}: 2xy = \beta$$

Il ne faut pas oublier qu'il y a deux solutions possibles pour $$x$$ et pour $$y$$.

On obtient donc $$x_{1}$$ en faisant $$\sqrt{\frac{L_{1}+L_{2}}{2}}$$ et $$x_{2}$$ en faisant $$-\sqrt{\frac{L_{1}+L_{2}}{2}}$$.

Et on obtient $$y_{1}$$ en faisant $$\sqrt{\frac{L_{1}-L_{2}}{2}}$$ et $$y_{2}$$ en faisant $$-\sqrt{\frac{L_{1}-L_{2}}{2}}$$.

En fait, $$L_{3}$$ nous dit si $$x$$ et $$y$$ doivent être de même signe ou non.

Si $$\beta > 0$$, alors ils sont de même signe, donc $$z_{1} = x_{1} + iy_{1}$$ et $$z_{2} = x_{2} +iy_{2}$$

Et si $$\beta < 0$$, alors ils sont de signe différents, donc $$z_{1} = x_{1} + iy_{2}$$ et $$z_{2} = x_{2} + iy_{2}$$

Formules brutes
On veut résoudre $$z^{2} = \alpha + i\beta$$

Deux cas se présente, en fonction de la valeur de $$\beta$$:


 * Si $$\beta > 0$$, alors

$$z_{1} = \sqrt{\frac{\alpha+\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{2}} + i \sqrt{\frac{\alpha-\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{2}}$$

$$z_{2} = -\sqrt{\frac{\alpha+\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{2}} - i \sqrt{\frac{\alpha-\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{2}}$$


 * Si $$\beta < 0$$, alors

$$z_{1} = \sqrt{\frac{\alpha+\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{2}} - i \sqrt{\frac{\alpha-\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{2}}$$

$$z_{2} = -\sqrt{\frac{\alpha+\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{2}} + i \sqrt{\frac{\alpha-\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}{2}}$$

III-Equation du second degré à coefficients complexes
On veut résoudre l'équation $$(E):az^{2} + bz + c=0$$ avec $$a$$, $$b$$ et $$c$$ des nombres complexes.

On commence par calculer le discriminant de $$(E)$$, soit $$\Delta = b^{2}-4ac$$

Puis on prend $$w = \sqrt{\Delta}$$ (voir II sur la racine carré d'un nombre complexe) ($$w$$ étant indifféremment la solution $$z_1$$ ou $$z_{2}$$)

Alors les deux solutions de l'équation sont $$z_{1}= \frac{-b-w}{2a}$$ et $$z_{2} = \frac{-b+w}{2a}$$

A-D'un nombre complexe quelconque
On veut résoudre l'équation $$z^{n} = a$$ où $$a \in \mathbb{C}^{*}$$ et $$n \geq 2$$.

On pose $$a = \rho e^{i\alpha}$$, avec $$r \geq 0$$ et on pose $$z = re^{i\theta}$$ avec $$r\geq0$$

Donc $$\left(re^{i\theta}\right)^{n} = \rho e^{i\alpha}$$ donc $$r^{n}e^{in\theta} = \rho e^{i\alpha}$$

Alors $$\left\{ \begin{array}{ccc} r^{n} = \rho \\ n\theta = \alpha + 2k\pi \end{array} \right. $$ donc $$\left\{ \begin{array}{ccc} r = \sqrt[n]{\rho} \\ \theta = \frac{\alpha + 2k\pi}{n} \end{array} \right. $$ avec $$0 \leq k \leq n-1$$

donc il y a $$n$$ solutions différentes $$z_{k} = \rho^{\frac{1}{n}}e^{i\frac{\alpha + 2k\pi}{n}}$$

B-De l'unité
Dans le cas où $$a=1$$, les racines $$n^{iemes}$$ de l'unité sont $$z_{k}=e^{\frac{2ki\pi}{n}}$$ avec $$0 \leq k \leq n-1$$

La somme des racines $$n^{iemes}$$ de l'unité est égale à $$0$$: $$\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2ki\pi}{n}}=0$$

C-Racine cubique de l'unité
C'est le cas où $$a=1$$ et $$n=3$$.

Les racines cubique de l'unité sont $$1$$, $$j = \frac{2i\pi}{3}$$ et $$j^{2} = \overline{j} = \frac{4i\pi}{3} = \frac{-2i\pi}{3}$$

$$j = \frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$ et $$j^{2} = \frac{-1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

Soit $$p\in \mathbb{N}$$

$$j^{k} = 1$$ si $$k = 3p$$

$$j^{k} = j$$ si $$k=3p+1$$

$$j^{k} = j^{2}=\overline{j}$$ si $$k=3p+2$$

$$1+j+j^{2} = 0$$