Formules 1A EI: Algèbre

I-Ensemble des parties et cardinal d'un ensemble

 * On appelle ensemble des parties d'un ensemble $$E$$, noté $$\mathcal{P}(E)$$, l'ensemble de tous les sous-ensembles de $$E$$. Ainsi, $$\mathcal{P}(E) = \{A / A \subset E \}$$.


 * On appelle cardinal de $$E$$ le nombre d'élements d'un ensemble $$E$$. On le notre $$card(E)$$.


 * Si $$A$$ et $$B$$ sont deux ensembles, alors $$card(A \cup B) = card(A) + card(B) - card(A \cap B)$$


 * Si $$card(E) = n$$, alors $$card\left[\mathcal{P}(E)\right] = 2^{n}$$

II-Applications

 * Soient deux ensembles $$A$$ et $$B$$. On appelle application de $$A$$ dans $$B$$ une relation $$f$$ qui à tout élements de $$A$$ associe un élement de $$B$$.

On la note $$f: A \mapsto B$$


 * $$f$$ est injective si tout élement de $$B$$ admet au plus un antécédent par $$f$$.


 * $$f$$ est surjective si tout élement de $$B$$ admet au moins un antécédent par $$f$$


 * $$f$$ est bijective si tout élement de $$B$$ admet un et un seul antécédent par $$f$$. En fait, elle est à la fois injective et surjective.


 * Si $$card(A) = n$$, alors on appelle permutationde $$E$$ toute bijection de $$E$$ dans $$E$$.

III-Factorielles

 * Soit $$n \in \mathbb{N}$$, on appelle factorielle $$n$$ le nombre entier $$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$$


 * $$0! = 1$$ par convention


 * $$n! = n \times (n-1)!$$ si $$n \geq 1$$


 * Soit un ensemble $$E$$ tel que $$card(E) = n$$, le nombre de permutations de $$E$$ est $$n!$$.

IV-Combinaisons

 * Soit $$n \in \mathbb{N}$$ et $$p \in \mathbb{N}$$ tels que $$n \geq p$$. On appelle arrangement de $$p$$ éléments pris parmi $$n$$ un $$p$$-uplet construit à partir des éléments d'un ensemble de cardinal $$n$$. Le nombre total de ces arrangements est noté $$A^{p}_{n} = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-p+2) \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$$.

\left(  \begin{array}{c}      n \\      p   \end{array}   \right) = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$
 * On appelle nombbre de combinaisons de $$p$$ éléments pris parmi $$n$$ le nombre de parties de cardinal $$p$$ d'un ensemble de cardinal $$n$$. Ce nombre s'écrit $$C^{p}_{n} =

\left(  \begin{array}{c}      n \\      p   \end{array}   \right) = \frac{A^{p}_{n}}{p!}

\Longleftrightarrow

A^{p}_{n} = \left(  \begin{array}{c}      n \\      p   \end{array}   \right) \times p! $$


 * Si $$p>n$$, alors $$\left(\begin{array}{c}n\\p\end{array}\right)=0$$ par convention.


 * Pour $$n \geq p \geq 0$$, $$\left(\begin{array}{c}n\\p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\n-p\end{array}\right)$$


 * $$\left(\begin{array}{c}n\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\n-1\end{array}\right)=n$$


 * $$\left(\begin{array}{c}n\\0\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}n\\n\end{array}\right)=1$$


 * $$\left(\begin{array}{c}n\\p\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}n-1\\p\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n-1\\p-1\end{array}\right)$$

V-Sommes
Soient $$n\in\mathbb{N}$$ et $$p\in\mathbb{N}$$ tels que $$n \geq p \geq 0$$


 * $$\sum_{k=0}^{n}a_{k} = a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}$$


 * $$\sum_{k=p}^{n}a_{k} = a_{p}+a_{p+1}+a_{p+2}+...+a_{n-1}+a_{n}$$


 * $$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$$


 * $$\sum_{k=1}^{n}a_{k} = \sum_{p=1}^{n}a_{a-p+1}$$


 * $$\sum_{k=1}^{n}a = n \times a$$


 * $$\sum_{k=1}^{n}n = n^{2}$$


 * $$\sum_{k=1}^{n+1}a_{k} = \sum_{k=1}{k=1}^{n}a_{k} + a_{n+1} = \sum_{k=2}^{n+1}a_{k} + a_{1}$$

VI-Produits

 * $$\prod_{k=0}^{n}a_{k} = a_{0} \times a_{1} \times a_{2} \times ... \times a_{n-1} \times a_{n}$$


 * $$\prod_{k=1}^{n} k = n!$$


 * $$ln\left(\prod_{k=0}^{n}a_{k}\right) = \sum_{k=0}^{n}ln(a_{k})$$

VII-Binôme de Newton
$$(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)a^{k}b^{n-k}$$