Formules: Nombres complexes: Application en géométrie

I-Représentation géométrique d'un nombre complexe
On peut définir l'affixe d'un vecteur.


 * L'affixe du vecteur $$\overrightarrow{w}\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$$ est $$z = a+ib$$


 * Si $$z = a + ib$$ est l'affixe d'un point $$M$$ et $$z' = a' +ib'$$ l'affixe du point $$M'$$, alors le vecteur $$\overrightarrow{MM'}$$ a pour affixe $$z'-z$$.

Si les vecteurs $$\overrightarrow{w}$$ et $$\overrightarrow{w'}$$ ont pour affixe $$z$$ et $$z'$$, alors


 * $$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{w'} \Longleftrightarrow z = z'$$


 * Le vecteur $$\overrightarrow{w} + \overrightarrow{w'}$$ a pour affixe $$z + z'$$


 * Si $$\lambda \in \mathbb{R}$$, la vecteur $$\lambda\overrightarrow{w}$$ a pour affixe $$\lambda z$$

Si $$z_{A}$$ est l'affixe du point $$A$$, $$z_{B}$$ l'affixe du point $$B$$ et $$z_{I}$$ celle du point $$I$$, milieu de $$[AB]$$.


 * Alors $$z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2}$$

II-Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Soit le point $$M(a;b)$$ d'affixe $$z=a+ib$$.

Soit $$\theta = \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right)$$.

Soit $$r = OM$$


 * On dit que $$[r;\theta]$$ sont les coordonnées polaires de $$M$$


 * Le module de $$z$$ est la longueur $$OM = |z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$$


 * L'argument de $$z$$, noté $$arg(z)$$, est l'angle $$\theta = \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}\right)$$


 * La forme trigonométrique de $$z$$ est $$z = r \times [cos(\theta) + i sin(\theta)]$$ avec $$r > 0$$


 * $$cos(\theta) = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$


 * $$sin(\theta) = \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$


 * $$a = r \times cos(\theta)$$


 * $$b = r \times sin(\theta)$$

III-Forme trigonométrique d'un produit de deux nombres complexes
$$z \times z' = r \times r' [cos(\theta + \theta') + i \times sin(\theta)]$$