Formules: Les suites

I-Généralités
 1°) 
 * La formule explicite d'une suite $$(u_{n})$$ est la relation directe entre $$u_{n}$$ et $$n$$.


 * La formule de récurrence d'une suite $$(u_{n})$$ est la relation entre $$u_{n+1}$$ et $$u_{n}$$.

 2°) 


 * Une suite $$(u_{n})$$ est dite croissante si pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a $$u_{n+1} \geq u_{n}$$.


 * Une suite $$(u_{n})$$ est dite strictement croissante si pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a $$u_{n+1} > u_{n}$$.


 * Une suite $$(u_{n})$$ est dite décroissante si pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a $$u_{n+1} \leq u_{n}$$.


 * Une suite $$(u_{n})$$ est dite strictement décroissante si pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a $$u_{n+1} < u_{n}$$.


 * Une suite $$(u_{n})$$ est dite constante ou stationnaire si pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a $$u_{n+1} = u_{n}$$.

 3°) 

Touts les qualificatifs de la 2°) peuvent être "à partir d'un rang $$p$$: cela veut dire que pour tout $$n \geq p$$, la suite $$(u_{n})$$ aura le qualificatif.

II-Limite d'une suite
 1°) 


 * Une suite $$u_{n}$$ est dite convergente si $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = a$$ où $$a$$ est un nombre.


 * Une suite $$u_{n}$$ est dite divergente si $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = \pm \infty$$

 2°) 


 * $$\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty$$


 * $$\lim\limits_{n \to +\infty} n^{2} = +\infty$$


 * $$\lim\limits_{n \to +\infty} n^{3} = +\infty$$


 * $$\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$$

 3°) 


 * $$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$$


 * $$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$$


 * $$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{3}} = 0$$


 * $$\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$

 4°)    Théorème de comparaison : Soit $$u_{n}$$ et $$w_{n}$$ deux suites, telles que $$u_{n} \leq w_{n}$$.


 * Si $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = +\infty$$, alors $$\lim\limits_{n \to +\infty} w_{n} = +\infty$$.


 * Si $$\lim\limits_{n \to +\infty} w_{n} = -\infty$$, alors $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = -\infty$$.

III-Opérations sur les limites
 1°)  $$lim(u_{n} + w_{n})$$

 2°)  $$lim(u_{n} \times w_{n})$$

 3°)  $$lim(\frac{u_{n}}{w_{n}})$$

IV-Suites bornées et convergence
 1°) 


 * Une suite $$(u_{n})$$ est dire  majorée  s'il existe un réel $$M$$ tel que pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a $$u_{n} \leq M$$.


 * Une suite $$(u_{n})$$ est dire  minorée  s'il existe un réel $$m$$ tel que pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a $$u_{n} \geq m$$.


 * Une suite $$(u_{n})$$ est dire  bornée  s'il existe un réel $$M$$ et un réel $$m$$ tels que pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$, on a$$m \leq u_{n} \leq M$$.

 2°) 

 Théorème des gendarmes 

Soit $$(u_{n})$$; $$(w_{n})$$ et $$(t_{n})$$ trois suites définies sur $$\mathbb{N}$$ telles que $$w_{n} \leq u_{n} \leq t_{n}$$.

Si $$\lim\limits_{n \to +\infty} w_{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} t_{n} $$

Alors $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} w_{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} t_{n} $$

 3°) 

 Théorème de convergence monotone 


 * Si une suite $$(u_{n})$$ est croissante et est majorée, alors $$(u_{n})$$ converge.


 * Si une suite $$(u_{n})$$ est décroissante et est minorée, alors $$(u_{n})$$ converge.

 4°) 


 * Tout suite croissante mais non majorée a pour limite $$+\infty$$


 * Tout suite décroissante mais non minorée a pour limite $$-\infty$$

V-Limite des suites géométriques

 * Si $$q > 1$$, alors $$\lim\limits_{n\to+\infty} q^{n} = +\infty$$


 * Si $$q = 1$$, alors $$\lim\limits_{n\to+\infty} q^{n} = 1 $$


 * Si $$-1 < q < 1$$, alors $$\lim\limits_{n\to+\infty} q^{n} = 0$$


 * Si $$q \leq -1$$, alors $$q^{n}$$ n'a pas de limite :ok:

Suite arithmétique

 * Une suite arithmétique est une suite telle que $$u_{n+1} = u_{n} + r$$.


 * $$u_{n} = u_{0} + n \times r$$


 * $$u_{m} = u_{p} + (m-p) \times r$$ avec $$m \geq p$$


 * $$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Suite géométrique

 * Une suite géométrique est une suite telle que $$u_{n+1} = u_{n} \times q$$.


 * $$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$$


 * $$u_{m} = u_{p} \times q^{m-p}$$


 * $$1 + q + q^{2} + q^{3} + ... + q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ avec $$q \neq 1$$