Equation de Schrödinger

I-Equation de Schrödinger
$$\frac{-h^{2}}{8m\pi^{2}}\Delta\Psi + Ep(M)\Psi = E\Psi$$

1-Fonction d'onde 1D classique

 * $$\Psi(x;t) = a \times cos\left[2\pi\left(\nu t - \frac{x}{\lambda}\right)\right]= a \times e^{2\pi i\left(\nu t - \frac{x}{\lambda}\right)} = a \times e^{-2\pi i \frac{1}{\lambda} \times x + 2\pi i \nu t} = a \times e^{bx+c}$$

avec $$b = \frac{-2\pi i}{\lambda}$$ et $$c = 2\pi i \nu t$$

donc $$\frac{\partial\Psi(x;t)}{\partial x} = a \times b \times e^{bx+c} = a \times \frac{-2\pi i}{\lambda} \times e^{2\pi i\left(\nu t - \frac{x}{\lambda}\right)}$$

donc $$\frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial x^{2}} = a \times \frac{(-2)^{2}\pi^{2}i^{2}}{\lambda^{2}} \times e^{2\pi i\left(\nu t - \frac{x}{\lambda}\right)} = \frac{-4\pi^{2}}{\lambda^{2}} \times a \times e^{2\pi i\left(\nu t - \frac{x}{\lambda}\right)} = \frac{-4\pi^{2}}{\lambda^{2}} \Psi(x;t)(1)$$


 * $$\frac{\partial\Psi(x;t)}{\partial t}= 2\pi i \nu \times a \times e^{2\pi i\left(\nu t - \frac{x}{\lambda}\right)}$$

donc $$ \frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial x^{2}}= 2^{2}\pi^{2}i^{2}\nu^{2} \times a \times e^{2\pi i\left(\nu t - \frac{x}{\lambda}\right)} = -4\pi^{2}\nu^{2}\Psi(x;t)(2)$$


 * D'après $$(1)$$, on a $$\frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial x^{2}}=\frac{-4\pi^{2}}{\lambda^{2}} \Psi(x;t)$$

donc $$\Psi(x;t) = \frac{-\lambda^{2}}{4\pi^{2}}\times\frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial x^{2}}$$

Or d'après $$(2)$$, on a $$\frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial t^{2}} = -4\pi^{2}\nu^{2}\Psi(x;t)$$

donc $$\Psi(x;t) = \frac{-1}{4\pi^{2}\nu^{2}} \times \frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial t^{2}}$$

donc $$\frac{-\lambda^{2}}{4\pi^{2}}\times\frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial x^{2}} = \frac{-1}{4\pi^{2}\nu^{2}} \times \frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial t^{2}}$$

$$\Longleftrightarrow \frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{\lambda^{2}\nu^{2}} \times \frac{\partial^{2}\Psi(x;t)}{\partial t^{2}}(3)$$

2-Fonction d'onde 3D classique

 * $$\Psi(x;y;z;t) = \Psi(M;t) = ae^{2\pi i(\nu t+\varphi[M])}$$

avec $$\varphi(M) = \alpha\frac{x}{\lambda} + \beta\frac{y}{\lambda} + \gamma\frac{z}{\lambda}$$


 * A l'aide de $$(3)$$, on peut démontrer facilement que

$$\frac{\partial^{2}\Psi(M;t)}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\Psi(M;t)}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}\Psi(M;t)}{\partial z^{2}} = \frac{1}{\lambda^{2}\nu^{2}}\times\frac{\partial^{2}\Psi(M;t)}{\partial t^{2}}$$

On pose l'opérateur Laplacien $$\Delta = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$$

donc $$\Delta\Psi(M;t) = \frac{1}{\lambda^{2}\nu^{2}}\times\frac{\partial^{2}\Psi(M;t)}{\partial t^{2}}$$


 * Or d'après $$(2)$$, on a $$\frac{\partial^{2}\Psi(M;t)}{\partial t^{2}} = -4\pi^{2}\nu^{2}\Psi(M;t)$$

donc $$\Delta\Psi(M;t) = \frac{-4\pi^{2}}{\lambda^{2}}\Psi(M;t)(4)$$

3-Caractérisation de l'électron
D'après la relation de De Brooglie, on a $$p = \frac{h}{\lambda}$$.

or $$p = m \times v$$, donc $$m\times v = \frac{h}{\lambda} \Longleftrightarrow v = \frac{h}{m\lambda}$$

$$E_{C} = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}m\times v \times v = \frac{1}{2}p\times v = \frac{1}{2} \times \frac{h}{\lambda} \times \frac{h}{m\lambda}$$.

donc $$E_{C} = \frac{h^{2}}{2m\lambda^{2}}$$

donc $$E = E_{P}(M) + E_{C} $$

donc $$ E = E_{P}(M) + \frac{h^{2}}{2m\lambda^{2}}$$

donc $$\frac{h^{2}}{2m\lambda^{2}} = E - E_{P}(M)$$

donc $$\frac{1}{\lambda^{2}} = \frac{2m}{h^{2}} \times \left[E-E_{P}(M)\right](5)$$

4-Fonction d'onde 3D de l'électron
Si on injecte $$(5)$$ dans $$(4)$$, on obtient alors:

$$\Delta\Psi(M;t) = -4\pi^{2}\frac{2m}{h^{2}}[E-E_{P}(M)]\Psi(M;t)$$

donc $$\Delta\Psi(M;t) = \frac{-8m\pi^{2}}{h^{2}}[E-E_{P}(M)]\Psi(M;t)$$

donc $$\frac{-h^{2}}{8m\pi^{2}}\Delta\Psi(M;t)=[E-E_{P}(M)]\Psi(M;t) $$

donc $$\frac{-h^{2}}{8m\pi^{2}}\Delta\Psi(M;t) + E_{P}(M)\Psi(M;t) = E\Psi(M;t)(6)$$

$$(6)$$ est l'équation de Schrödinger.

Parfois, on pose l'opérateur Hamiltonien $$H = \frac{-h^{2}}{8m\pi^{2}}\Delta+E_{P}(M)$$. Dans ce cas là, l'équation devient

$$H\Psi(M;t) = E\Psi(M;t)$$

III-Interprétation de la fonction d'onde de l'électron

 * En optique, $$\Psi = a \times e^{2\pi i\left[\nu t+\varphi(M)\right]}$$ où $$a$$ est l'amplitude de l'onde.

Donc $$|\Psi|^{2}$$ est proportionnel à l'amplitude de l'onde.


 * On sait que la lumière est constituée de photons. Ainsi, $$|\Psi|^{2}$$ est l'intensité lumineuse: c'est-à-dire le nombre de photons par $$m^{2}$$ par $$s$$.


 * Si maintenant notre onde est un flux d'électrons, alors $$|\Psi|^{2}$$ est le nombre d'électrons par $$m^{2}$$ par $$s$$.


 * Si maintenant notre onde n'est plus qu'un seul électron, alors $$|\Psi|^{2}$$ est la densité (car par unité de volume) de probabilité de présence.


 * $$\int_{espace}|\Psi(M;t)|^{2}dv = 1$$ (la probabilité de trouver l'électron dans l'espace est de $$1$$.


 * $$\Psi(M;t) = a(M) \times e^{2\pi i \nu t}$$

donc $$|\Psi(M;t)|^{2} = |a(M)|^{2} \times |e^{2\pi i \nu t}|^{2} = |a(M)|^{2} \times 1 = |a(M)|^{2}$$

donc $$|\Psi(M;t)|^{2} = |a(M)|^{2}$$

Cela ne dépend donc pas du temps.

IV-Résolution de l'équation de Schrödinger dans une "boîte" à une dimension
On pose la boîte ainsi: si $$x\in[0;L]$$, alors $$Ep(x) = 0$$ et si $$x \in ]-\inf;0[U]L,+\inf[$$.