Entrainement

Question 1
1. Calculez la linéarisation (développement à l’ordre 1) de la fonction $$f (x) = sin(x)$$ au voisinage du point $$x_{0} = 0$$. Représentez $$sin(x)$$ et son développement sur l’intervalle $$[10,10]$$.

D'une manière générale, une linéarisation d'une fonction s'écrit de la forme:

$$P_{1}(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0}) \times (x-x_{0})$$

Ici, $$x_{0} = 0$$

Donc

$$P_{1}(x) = f(0) + f'(0) \times x$$

On a $$f(x) = sin(x)$$

donc

$$f(0) = sin(0) = 0$$

et $$f'(x) = cos(x)$$

donc $$f'(0) = 1$$

Donc $$P_{1}(x) = x$$

Question 2
D'une manière générale, le polynôme de Taylor à l'ordre 2 s'écrit:

$$P_2(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2} \times (x-x_{0})^{2}$$

Ici, $$x_{0} = 0$$

Donc

$$P_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2} \times x^{2}$$

Ici, $$f(x) = sin(x)$$ donc $$f(0) = 0$$

Et $$f'(x) = cos(x)$$ donc $$f'(0) = 1$$

Et $$f(x) = -sin(x)$$ donc $$f(0) = 0$$

Donc $$P_2(x) = x$$

D'une manière générale, le polynôme de Taylor à l'ordre 3 s'écrit:

$$P_3(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2} \times (x-x_{0})^{2} + \frac{f^{(3)}(x_{0})}{6} \times (x-x_{0})^{3}$$

On a $$x_{0} = 0$$

Donc $$P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2} \times x^{2} + \frac{f^{(3)}(0)}{6} \times x^{3}$$

On a vu tout à l'heure que $$f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2} \times (x-x_{0})^{2} = x$$

Donc $$P_3(x) = x + \frac{f^{(3)}(0)}{6} \times x^{3}$$

On sait aussi que $$f''(x) = -sin(x)$$

Donc $$f^{(3)}(x) = -cos(x)$$

Donc $$f^{(3)}(0) = -1$$

Donc $$P_3(x) = x - \frac{x^{3}}{6}$$

Question 3
On peut donc généraliser ainsi:

$$P_{n}(x) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{n} \times (-1)^{p}}{n!}$$ avec $$n = 2p+1$$ donc $$p = \frac{n - 1}{2}$$