Méthode sur les fonctions trigonométriques

Trouver si une fonction est k-périodique
Si une fonction $$f$$ est k-périodique, alors $$f(x+k) = f(x)$$

Trouver si une fonction est paire
Si une fonction $$f$$ est paire, alors $$f(-x) = f(x)$$.

Trouver si une fonction est impaire
Si une fonction $$f$$ est impaire, alors $$f(-x) = -f(x)$$.

Résoudre une équation
Pour résoudre de type $$cos(x) = A$$ et $$sin(x) = B$$, on se rapporte au tableaux ci-dessous:

On remarquera que le cosinus et le sinus ressemblent aux valeurs du tableau. On utilise les propriétés suivantes:

$$cos(-x) = cos(x)$$

$$cos(\pi + x) = cos(\pi - x) = -cos(x)$$

$$sin(\pi - x) = sin(x)$$

$$sin(\pi + x) = sin(-x) = -sin(x)$$

Ainsi, $$A$$ est le cosinus de 2 $$x$$ différents, à savoir $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$.

$$B$$ est le sinus de 2 $$x$$ différents, à savoir $$x_{3}$$ et $$x_{4}$$.

On obtient les possibilités suivante: $$x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}$$

Parmi ces 4 valeurs possibles, 2 sont égales: il s'agira de la solution.

exemple: $$cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ et $$sin(x) = \frac{1}{2}$$

 Calcul de $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ 

On a donc $$A = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$. D'après le tableau de référence, il s'agit de l'opposé du cosinus de $$\frac{\pi}{6}$$.

Donc $$-\frac{\sqrt{3}}{2} = -cos(\frac{\pi}{6})$$

D'après les formules, on a $$-cos(\frac{\pi}{6}) = cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = cos(\frac{7\pi}{6})$$ Donc $$x_{1} = \frac{7\pi}{6}$$

$$-cos(\frac{\pi}{6}) = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = cos(\frac{5\pi}{6})$$ Donc $$x_{2} = \frac{5\pi}{6}$$

 Calcul de $$x_{3}$$ et $$x_{4}$$ 

On a donc $$B = \frac{1}{2}$$. D'après le tableau de référence, il s'agit du sinus de $$\frac{\pi}{6}$$.

Donc $$\frac{1}{2} = sin(\frac{\pi}{6})$$ Donc $$x_{3}= \frac{\pi}{6}$$.

D'après les formules, $$sin(\frac{\pi}{6}) = sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{5\pi}{6})$$ Donc $$x_{4} = \frac{5\pi}{6}$$

 Conclusion 

On a donc $$x_{1} = \frac{7\pi}{6}$$

$$x_{2} = \frac{5\pi}{6}$$

$$x_{3}= \frac{\pi}{6}$$

$$x_{4} = \frac{5\pi}{6}$$

On remarque que $$x_{2} = x_{4} = \frac{5\pi}{6}$$

Donc la solution de l'équation est $$x= \frac{5\pi}{6}$$

Méthode
Imaginons que j'ai l'angle $$\theta = \frac{a\pi}{b}$$. On note $$c = 2b$$

On cherche $$r$$ le reste de la division euclidienne de $$a$$ par $$c$$. On aura ainsi la mesure principale de $$\theta$$ qui vaudra $$\theta = \frac{r\pi}{b} (2\pi)$$

Exemple
On cherche la mesure principale de $$\theta = \frac{2455\pi}{4}$$

Ici, on a $$a = 2455$$

$$b = 4$$

$$c = 2b = 2\times4 = 8$$.

On pose la division euclidienne de $$2455$$ par $$8$$.

On a $$2455 = 8 \times 306 + 7$$.

On a donc $$r = 7$$.

Donc $$\theta = \frac{7\pi}{4} (2\pi)$$

Si l'on devais rédiger cette exemple, ça donnerait:

On recherche la mesure principale de $$\theta = \frac{2455\pi}{4}$$

On a $$\theta = \frac{2455\pi}{4} = \frac{[8 \times 306 + 7]\pi}{4} = \frac{8\times 306\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}$$

$$=306\times\frac{8\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 306 \times 2\pi + \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} (2\pi)$$

Remarques

 * Si $$\frac{a\pi}{b} < 0$$, on utilisera la méthode pour $$-\frac{a\pi}{b}$$. On prendra alors pour mesure principale $$-\frac{r\pi}{b}$$.


 * Vous pouvez retrouver l'algorithme correspondant ici

Trouver si un nombre est un imaginaire pur
Nous voulons savoir si $$Z = (a + ib)^{n}$$ est un imaginaire pur.

Cela revient à se demander si $$arg(Z) = \theta = \frac{\pi}{2} (\pi)$$.

On commence par poser $$Z = z^{n}$$ avec $$z = a+ib$$.

Si on prend la forme exponentielle de $$z$$, c'est-à-dire $$z = r \times e^{i\theta}$$, on peut dire $$Z = (r \times e^{i\theta})^{n}$$.

Donc $$Z = r^{n} \times (e^{i\theta})^{n} = r^{n} \times e^{i\times n \times\theta}$$.

Si $$arg(z) = \theta$$, alors $$arg(Z) = n\theta$$.

Il nous faut donc savoir $$n \times \theta = \frac{\pi}{2} (\pi)$$.

Il ne faut pas hésiter à utiliser la méthode pour trouver la mesure principale de $$n \theta$$

Trouver si un nombre est un réel
De la même manière, si on veut trouver si $$Z = (a+ib)^{n}$$ est un réel, on regarde si $$n \times \theta = 0 (\pi)$$.