Formules: Introduction aux nombres complexes

I-Les nombres complexes
Soit $$M$$ le point de coordonnées $$(a;b)$$.


 * Alors $$M$$ a pour affixe $$z = a+ib$$.


 * $$a$$ est la partie réelle de $$z$$. On la note $$\mathcal{R}e(z)$$.


 * $$b$$ est la partie imaginaire de $$z$$. On la note $$\mathcal{I}m(z)$$.


 * Enfin, la forme $$a+ib$$ s'appelle l'écriture algébrique de $$z$$.


 * $$\frac{1}{z} = \frac{a}{a^{2}+b^{2}} + i \times \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$$

II-Le conjugué d'un nombre complexe

 * Le complexe conjugué de $$z$$ est $$\overline{z} = a - ib$$.


 * Le nombre complexe $$z$$ est réel si et seulement si $$z = \overline{z}$$


 * Le nombre complexe $$z$$ est un imaginaire pur si et seulement si $$z + \overline{z} = 0$$


 * $$z \times \overline{z} = a^{2}+b^{2}$$

Soit $$z$$ et $$z'$$ deux nombres complexes.


 * $$\overline{z+z'} = \overline{z} + \overline{z'}$$


 * $$\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'} $$


 * $$\overline{\frac{z}{z'}} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$$


 * Pour tout $$n \in \mathbb{N}$$, $$\overline{z^{n}} = (\overline{z})^{n}$$

III-Le module d'un nombre complexe

 * Le module de $$z$$ est $$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$


 * $$|z|^{2} = z \times \overline{z}$$


 * $$|\overline{z}| = |z|$$


 * $$|z \times z'| = |z| \times |z'|$$


 * $$\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$$


 * $$|z+z'| \leq |z| + |z'|$$


 * Pour tout $$n\in\mathbb{N}$$, $$|z^{n}| = |z|^{n}$$

IV-Equations du seconde degré à coefficients réels
Soit $$a$$, $$b$$ et $$c$$ deux nombres réels avec $$a\neq0$$.

L'équation $$az^{2} + bz + c = 0$$ a pour discriminant $$\Delta = b^{2} - 4ac$$.


 * Si $$\Delta > 0$$, l'équation a pour solutions $$z_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$z_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$


 * Si $$\Delta = 0$$, l'équation a pour solution $$z_{0} = \frac{-b}{2a}$$


 * Si $$\Delta < 0$$, l'équation a pour solution $$z_{1} = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$ et $$z_{2} = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$ avec $$z_{1} = \overline{z_{2}}$$