Formules: Intégration et primitives

I-Notion d'intégrale
$$f$$ est une fonction continue positive sur $$[a;b]$$, avec $$a \leq b$$

Soit $$\mathcal{D}$$ l'aire du domaine délimité par la droite d'équation $$x = a$$, la droite d'équation $$x = b$$, l'axe des abscisses et la courbe représentative de $$f$$.


 * Alors $$\int_{a}^{b}f(t)dt = aire(\mathcal{D})$$


 * Alors la fonction $$\displaystyle\Phi(x) = \int_{a}^{x}$$ a pour dérivé $$\displaystyle\Phi'(x) = f(x)$$

II-Primitive d'une fonction continue
$$f$$ est une fonction continue sur un intervalle $$I$$


 * Une primitive  de $$f$$ est une fonction $$F$$ dérivable sur $$I$$ telle que $$F' = f$$


 * Soit $$\Phi$$ une primitive de $$f$$, alors toute primitive de $$f$$ s'écrit $$F = \Phi + k$$ avec $$k\in\mathbb{R}$$.


 * $$\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)$$


 * Toute fonction continue sur un intervalle $$I$$ admet des primitives sur $$I$$.

1°)Primitives de fonctions usuelles
Soit $$f$$ une fonction et$$F$$ une de ses primitives.


 * $$f(x) = m$$, alors $$F(x) = mx$$


 * $$f(x) = x^{n}$$, alors $$F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$ avec $$n \in \mathbb{N}$$


 * $$f(x) = \frac{1}{x}$$, alors $$F(x) = ln(x)$$


 * $$f(x) = \frac{1}{x^{n}} = x^{-n}$$, alors $$F(x) = \frac{-1}{(n-1)x^{n-1}} = \frac{x^{-n+1}}{-n+1}$$ avec $$n$$ un entier et $$n \geq 2$$


 * $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$, alors $$F(x) = 2\sqrt{x}$$


 * $$f(x) = e^{x}$$, alors $$F(x) = e^{x}$$


 * $$f(x) = cos(x)$$, alors $$F(x) = sin(x)$$


 * $$f(x) = sin(x)$$, alors $$F(x) = -cos(x)$$

2°)Primitives et opérations sur les fonctions
Soit $$u$$ et $$v$$ deux fonctions, $$U$$ et $$V$$ une de leurs primitives respectives.


 * $$f(x) = u(x) + v(x)$$, alors $$F(x) = U(x) + V(x)$$


 * $$f(x) = \lambda u(x)$$, alors $$F(x) = \lambda U(x)$$


 * $$f(x) = u'(x) \times u(x)^{n}$$, alors $$F(x) = \frac{u^{n+1}}{n+1}$$


 * $$f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$$, alors $$F(x) = ln[u(x)]$$


 * $$f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = u'(x) \times u(x)^{n}$$, alors $$F(x) = \frac{-1}{(n-1)u^{n-1}} = \frac{u^{-n+1}}{-n+1}$$ avec $$n$$ entier et $$n \geq 2$$


 * $$f(x) = \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$$, alors $$F(x) = 2\sqrt{u(x)}$$


 * $$f(x) = u'(x) \times e^{u(x)}$$, alors $$F(x) = e^{u(x)}$$


 * $$f(x) = u(ax+b)$$, alors $$F(x) = \frac{U(ax+b)}{a}$$

IV-Intégrale d'une fonction continue
$$f$$ est une fonction continue sur un intervalle $$I$$, $$F$$ est une primitive de $$f$$ sur $$I$$, $$a$$ et $$b$$ sont deux nombres quelconques de $$I$$.


 * L'intégrale de la fonction $$f$$ entre $$a$$ et $$b$$ est le nombre $$\int_{a}^{b}f(t)dt = [F(t)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$


 * $$\int_{a}^{b}(f+g)(t)dt = \int_{a}^{b}f(t)dt + \int_{a}^{b}g(t)dt$$


 * $$\int_{a}^{b}\lambda f(t)dt = \lambda\int_{a}^{b}f(t)dt$$


 * $$\int_{a}^{b}f(t)dt + \int_{b}^{c}f(t)dt = \int_{a}^{c}f(t)dt$$


 * Si pour tout $$t \in [a;b]$$, $$f(t) \geq 0$$, alors $$\int_{a}^{b}f(t)dt \geq 0$$


 * Si pour tout $$t \in [a;b]$$, $$f(t) \leq g(t)$$, alors $$\int_{a}^{b}f(t)dt \leq \int_{a}^{b}g(t)dt$$

V-Valeur moyenne d'une fonction continue
$$f$$ est une fonction continue sur $$[a;b]$$ ($$a<b$$)


 * La valeur moyenne de la fonction $$f$$ sur $$[a;b]$$ est le nombre $$\mu$$ défini par $$\mu = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt$$


 * Si pour tout $$t\in[a;b]$$, on a $$m \leq f(t) \leq M$$, alors $$m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(t)dt \leq M(b-a)$$