Correction Washington 2013 - Maths

http://fr.scribd.com/doc/145626324/Maths-S-Wash-2013

1°)

 * $$A(0,4,1)$$ et $$B(1,3,0)$$. Donc $$\overrightarrow{AB}\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right)$$.


 * $$A(0,4,1)$$ et $$(2,-1,-2)$$. Donc $$\overrightarrow{AC}\left( \begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ -3 \end{array} \right)$$.


 * Donc les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ ne sont pas colinéaires, donc les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$ ne sont pas alignés.

2°)a)
$$\overrightarrow{u}\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)$$


 * $$\overrightarrow{u} . \overrightarrow{AB} = 1 \times 2 + (-1) \times (-1) + (-1) \times 3 = 0$$

Donc $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ sont orthogonaux. Donc $$\Delta$$ et $$(AB)$$ sont orthogonales.


 * $$\overrightarrow{u} . \overrightarrow{AC} = 2 \times 2 + (-5) \times (-1) + (-3) \times 3 = 0$$

Donc $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{Ac}$$ sont orthogonaux. Donc $$\Delta$$ et $$(AC)$$ sont orthogonales.


 * Comme $$(AB)$$ et $$(AC)$$ sont deux droites sécantes du plan $$(ABC)$$, on en conclut que $$\Delta$$ est orthogonale à $$(ABC)$$.

b)
Nous savons que $$\overrightarrow{u}\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)$$ est un vecteur normal au plan $$(ABC)$$.

Donc une équation cartésienne de ce plan est $$2x - y + 3z + d = 0$$.

Nous devons trouver le réel $$d$$: nous savons que $$A(0,4,1)$$ appartient au plan $$(ABC)$$. Donc ses coordonnées vérifié l'équation du plan.

Donc $$2 \times 0 - 4 + 3 \times 2 + d = 0 \Longleftrightarrow 2 + d = 0 \Longleftrightarrow d = -2$$

Donc une équation cartésienne de $$(ABC)$$ est $$2x -y + 3z - 2 = 0$$.

c)
La droite $$\Delta$$ a pour vecteur directeur $$\overrightarrow{u}\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)$$ et passe par le point $$D(7,-1,4)$$.

Donc une représentation paramétrique de $$\Delta$$ est $$\left\{ \begin{array}{rcl} x = 7 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 4 + 3t \end{array}\right.$$

$$t \in \mathbb{R}$$

d)
Une représentation paramétrique de $$\Delta$$ est $$\left\{ \begin{array}{rcl} x = 7 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 4 + 3t \end{array}\right.$$

Une équation cartésienne de $$(ABC)$$ est $$2x -y + 3z - 2 = 0$$.

$$2(7+2t) - (-1 - t) + 3(4+3t) - 2 = 0 \Longleftrightarrow 14 + 4t + 1 + t + 12 + 9t - 2 = 0$$

$$\Longleftrightarrow 14t + 28 = 0 \Longleftrightarrow 14t = -28 \Longleftrightarrow t = \frac{-28}{14} = -2$$

Donc $$\left\{ \begin{array}{rcl} x = 7 + 2 \times (-2) = 7 - 4 = 3 \\ y = -1 - (-2) = 2 - 1 = 1 \\ z = 4 + 3 \times (-2) = 4 - 6 = -2 \end{array}\right.$$

Donc le point $$H$$ a pour coordonnés $$(3;1;-2)$$.

3°)a)
Le plan $$\mathcal{P}_{1}$$ a pour vecteur normal $$\overrightarrow{v}$$$$(1,1,1)$$.

Le plan $$\mathcal{P}_{2}$$ a pour vecteur normal $$\overrightarrow(1,4,2)$$.