Formules utiles pour le prochain contrôle

A-Propriété générales
1°) $$exp(x)$$ est définie sur $$\mathbb{R}$$.

2°) $$exp(x)$$ est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$.

3°) $$exp'(x) = exp(x)$$. Donc $$exp(x)$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.

4°) $$exp(x) = e^{x}$$ avec $$e \approx 2,718$$

5°) Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} > 0$$.

6°) $$e^{0} = 1$$

7°) $$e^{1} = e$$

B-Formules de calcul
1°) $$e^{a+b} = e^{a} \times e^{b}$$

2°) $$e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$$

3°) $$e^{-a} = \frac{1}{e^{a}}$$

4°) $$(e^{x})^{n} = e^{x \times n}$$ pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$

5°) Si $$a \geq b$$, alors $$e^{a} \geq e^{b} $$

C-Limites
1°) $$\lim\limits_{x \to -\infty}e^{x} = 0$$

2°) $$ \lim\limits_{x \to +\infty}e^{x} = +\infty$$

3°) $$\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{e^{x}}{x} = +\infty$$

4°) $$\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x} = 0$$

5°) $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$$

A-Cosinus
1°) $$-1 \leq cos(x) \leq 1$$

2°) $$cos(-x) = cos(x)$$ La fonction $$cos(x)$$est paire.

3°) $$cos(\pi - x) = - cos(x)$$

4°) $$cos(\pi + x) = - cos(x)$$

5°) $$cos(x + 2\pi) = cos(x)$$ La fonction $$cos(x)$$ est $$2\pi$$-périodique.

6°) $$cos(a+b) = cos(a) \times cos(b) - sin(a) \times sin(b)$$

7°) $$cos(a-b) = cos(a) \times cos(b) + sin(a) \times sin(b)$$

8°) $$cos(2a) = cos^{2}(a) - sin^{2}(a) = 2cos^{2}(a) - 1 = 1 - 2sin^{2}(a)$$

9°) $$cos(x)' = -sin(x)$$

B-Sinus
1°) $$-1 \leq sin(x) \leq 1$$

2°) $$sin(-x) = -sin(x)$$ La fonction $$sin(x)$$est impaire.

3°) $$sin(\pi - x) = sin(x)$$

4°) $$sin(\pi + x) = -sin(x)$$

5°) $$sin(x + 2\pi) = sin(x)$$ La fonction $$sin(x)$$ est $$2\pi$$-périodique.

6°) $$sin(a+b) = sin(a) \times cos(b) + cos(a) \times sin(b)$$

7°) $$sin(a-b) = sin(a) \times cos(b) - cos(a) \times sin(b)$$

8°) $$sin(2a) = 2sin(a)cos(a)$$

9°) $$sin(x)' = cos(x)$$

10°) $$\lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} = 1$$

A-Point, vecteur et affixe
Pour la suite, on considère le point $$M(a;b)$$, le point $$N(c;d)$$ et le point $$O(0;0)$$, ainsi que les vecteurs $$\overrightarrow{t}$$ et $$\overrightarrow{w}$$

1°) L'affixe de $$M$$ est $$z_{M} = a + ib$$.

L'affixe de $$N$$ est $$z_{N} = c + id$$.

2°) $$Re(z_{M}) = a$$

$$Im(z_{M}) = b$$

$$Re(z_{N}) = c$$

$$Im(z_{N}) = d$$

3°) Le vecteur $$\overrightarrow{MN}$$ a pour coordonnés $$(c-a;d-b)$$ et a pour affixe $$z_{MN} = c-a + i(d-b)$$.

Le vecteur $$\overrightarrow{NM}$$ a pour coordonnées $$(a-c;b-d)$$ et a pour affixe $$z_{NM} = a-c + i(b-d)$$

4°) $$\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{NM}$$

5°) Le vecteur $$\overrightarrow{OM}$$ a pour coordonnées $$(a;b)$$ et son affixe est $$z_{OM} = a + ib$$.

Le vecteur $$\overrightarrow{ON}$$ a pour coordonnées $$(c;d)$$ et son affixe est $$z_{ON} = c + id$$.

6°) $$I$$ milieu de $$[MN]$$. Donc $$z_{I} = \frac{z_{M} + z_{N}}{2}$$.

7°) $$\frac{1}{z_{M}} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} + i \times \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$$

8°) Si $$z_{M} = z_{N}$$, alors$$M$$ et $$N$$sont le même point.

9°) Si$$z_{t} = z_{w}$$, alors $$\overrightarrow{t} = \overrightarrow{w}$$.

10°) $$\overrightarrow{t} + \overrightarrow{w}$$ a pour affixe $$z_{t+w} = z_{t} + z_{w}$$

11°) $$k\overrightarrow{w}$$ a pour affixe $$kz_{w}$$ pour tout $$k \epsilon \mathbb{R}$$

B-Conjugué d'un nombre
1°) $$\overline{z_{M}} = a - ib$$

2°) $$z_{M} + \overline{z_{M}} = 2Re(z_{M}) = 2a$$

3°) $$z_{M} - \overline{z_{M}} = 2iIm(z_{M}) = 2ib$$

4°) $$z_{M} \times \overline{z_{M}} = a^{2} + b^{2}$$

5°) $$\overline{z_{M} + z_{N}} = \overline{z_{M}} + \overline{z_{N}}$$

6°) $$\overline{z_{M} \times z_{N}} = \overline{z_{M}} \times \overline{z_{N}}$$

7°) $$\overline{(\frac{z_{M}}{z_{N}})} = \frac{\overline{z_{M}}}{\overline{z_{N}}}$$

8°) $$\overline{(z_{M})^{n}} = (\overline{z_{M}})^{n}$$ pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$

C-Module d'un nombre
1°) $$|z_{M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

2°) $$|z_{M}| = |-z_{M}| = |\overline{z_{M}}| = |-\overline{z_{M}}|$$

3°) $$|z_{M}|^{2} = z_{M} \times \overline{z_{M}}$$

4°) $$|z_{M} \times z_{N}| = |z_{M}| \times |z_{N}|$$

5°) $$|\frac{z_{M}}{z_{N}}| = \frac{|z_{M}|}{|z_{N}|}$$

6°) $$|z_{M} + z_{N}| \leq |z_{M}| + |z_{N}|$$

7°) $$|(z_{M})^{n}| = |z_{M}|^{n}$$ pour tout $$n \epsilon \mathbb{N}$$

A-Définition
1°) Soit $$r$$ la distance $$OM$$. On a $$r = |z_{OM}| = |z_{M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

2°) On a $$arg(z_{M}) = \theta = (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{OM}) (2\pi)$$.

3°) Un point $$M$$ se repère par ses coordonnées algébriques $$(a;b)$$ et par ses coordonnées trigonométriques $$[r; \theta]$$.

4°) $$a = r \times cos(\theta)$$

$$b = r \times sin(\theta)$$

5°) $$cos(\theta) = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

$$sin(\theta) = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

6°) On a donc $$M(r \times cos(\theta) ; r \times sin(\theta))$$

7°) $$z_{M} = a + ib = r\times cos(\theta) + i \times r \times sin(\theta) $$

B-Argument
1°) $$arg(-z_{M}) = arg(z_{M}) + \pi$$

2°) $$arg(\overline{z_{M}}) = - arg(z_{M})$$

3°) $$arg(-\overline{z_{M}}) = \pi - arg(z_{M})$$

4°) $$arg(z_{M} \times z_{N}) = arg(z_{M}) + arg(z_{N})$$

5°) $$arg(\frac{z_{M}}{z_{N}}) = arg(z_{M}) - arg(z_{N})$$

6°) $$arg([z_{M}]^{n}) = n \times arg(z_{M}) (2\pi)$$

7°) $$z_{M} \times z_{N} = r_{M} \times r_{N} (cos(\theta_{M} + \theta_{N})+ i \times sin(\theta_{M} + \theta_{N}))$$

V-Nombres complexes: géométrie
Soit $$K$$ et $$L$$ deux points distincts.

A-Points, distances et angles
1°) $$z_{M}$$ et $$-z_{M}$$ sont symétriques par rapport au point d'origine $$O$$.

2°) $$z_{M}$$ et $$\overline{z_{M}}$$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

3°) $$z_{M}$$ et $$-\overline{z_{M}}$$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

4°) $$|z_{N} - z_{M}| = MN$$

5°) $$|z_{M} - z_{O}| = |z_{M}| = OM$$

6°) $$arg(z_{N} - z_{M}) = (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{MN}) (2\pi)$$

7°) $$arg(\frac{z_{L} - z_{K}}{z_{N} - z_{M}}) = (\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{KL}) (2\pi)$$

B-Cercles et droites
1°) Si $$|z_{M} - z_{N}| = r$$, alors $$M$$ appartient au cercle de centre $$N$$ et de rayon $$r$$. De même, $$N$$ appartient au cercle de centre $$M$$ et de rayon $$r$$.

2°) Si $$|z_{M} - z_{K}| = |z_{M} - z_{L}|$$ alors $$KM = LM$$ et donc $$M$$ appartient à la médiatrice du segment $$[KL]$$.

3°) Si $$arg(\frac{z_{L}-z_{K}}{z_{N}-z_{M}}) = 0 (\pi)$$, alors $$(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{KL}) = 0 (\pi)$$ donc $$\overrightarrow{MN}$$ et $$\overrightarrow{KL}$$ sont colinéaires, et donc les droites $$(MN)$$ et $$(KL)$$ sont confondues.

4°) Si $$arg(\frac{z_{L}-z_{K}}{z_{N}-z_{M}}) = \frac{\pi}{2} (\pi)$$, alors $$(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{KL}) = \frac{\pi}{2} (\pi)$$ donc donc les droites $$(MN)$$ et $$(KL)$$ sont perpendiculaires.

5°) Si $$arg(\frac{z_{L}-z_{M}}{z_{K}-z_{M}}) = \frac{\pi}{2} (\pi)$$ alors les droites $$(ML)$$ et $$(MK)$$ sont perpendiculaires, et donc $$M$$ appartient au cercle de diamètre $$[KL]$$.

VI-Nombres complexes: forme exponentielle
1°) Le point $$M(a;b)[r;\theta]$$ a pour affixe:


 * $$z_{M} = a + ib$$
 * $$z_{M} = r [cos(\theta) + i \times sin(\theta)]$$
 * $$z_{M} = r \times e^{i\theta}$$

2°) $$|r \times e^{i\theta}| = r$$

3°) $$|e^{i\theta}| = 1$$

4°) $$arg(r \times e^{i\theta}) = \theta$$

5°) $$arg(e^{i\theta}) = \theta$$

6°) $$e^{i\theta_{M}} \times e^{i\theta_{N}} = e^{i(\theta_{M} + \theta_{N})}$$

7°) $$\frac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$$

8°) $$\frac{e^{i\theta_{M}}}{e^{i\theta_{N}}} = e^{i(\theta_{M} - \theta_{N})}$$

9°) $$(e^{i\theta})^{n} = e^{i\theta \times n}$$